人教A版数学必修一《指数函数及其性质》基础知识讲解Word格式.docx
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1时图象
a>
图象
性质
①定义域R，值域（0，+∞）
②a0=1,即x=0时，y=1，图象都经过（0，1）点
③ax=a，即x=1时，y等于底数a
④在定义域上是单调减函数
④在定义域上是单调增函数
⑤x<
0时，ax>
1
x>
0时，0<
ax<
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
（1）当底数大小不定时，必须分“
”和“
”两种情形讨论。
（2）当
时，
；
当
时
。
的值越大，图象越靠近
轴，递增速度越快。
的值越小，图象越靠近
轴，递减的速度越快。
（3）指数函数
与
的图象关于
轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律
（1）
1
②
③
④
则：
0＜b＜a＜1＜d＜c
又即：
x∈（0,+∞）时，
（底大幂大）
x∈（－∞,0）时，
（2）特殊函数
的图像：
要点四、指数式大小比较方法
（1）单调性法：
化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.
（2）中间量法
（3）分类讨论法
（4）比较法
比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
①若
②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断
，或
即可．
【典型例题】
类型一、指数函数的概念
例1．函数
是指数函数，求
的值．
【答案】2
【解析】由
是指数函数，
可得
解得
，所以
．
【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：
（1）切入点：
利用指数函数的定义来判断；
（2）关键点：
一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量
举一反三：
【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】
（1）（5）（6）
【解析】
（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）
=
，符合指数函数的定义，而
（2）中底数
不是常数，而4不是变数；
（3）是-1与指数函数
的乘积；
（4）中底数
，所以不是指数函数．
类型二、函数的定义域、值域
例2．求下列函数的定义域、值域.
（2）y=4x-2x+1；
（4）
（a为大于1的常数）
（1）R，（0，1）；
（2）R[
）；
（4）（-∞，-1）∪[1，+∞）
[1，a）∪（a，+∞）
（1）函数的定义域为R（∵对一切x
R，3x≠-1）.
∵
，又∵3x>
0，1+3x>
1，
∴
，∴
，∴值域为（0，1）.
（2）定义域为R，
，∵2x>
0，∴
即x=-1时，y取最小值
，同时y可以取一切大于
的实数，∴值域为[
）.
（3）要使函数有意义可得到不等式
，即
，又函数
是增函数，所以
，值域是
.
（4）∵
∴定义域为（-∞，-1）∪[1，+∞），
又∵
，∴
，∴值域为[1，a）∪（a，+∞）.
【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；
第（3）小题中值域切记不要漏掉y>
0的条件，第（4）小题中
不能遗漏.
【变式1】求下列函数的定义域：
（2）
（4）
（1）R；
（4）a>
1时，
（1）R
（2）要使原式有意义，需满足3-x≥0，即
（3）为使得原函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x≥0，即
（4）为使得原函数有意义，需满足
，所以a>
【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.
类型三、指数函数的单调性及其应用
例3．讨论函数
的单调性，并求其值域．
【思路点拨】对于x∈R，
恒成立，因此可以通过作商讨论函数
的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果．
【答案】函数
在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数（0，3]
解法一：
∵函数
的定义域为（－∞，+∞），设x1、x2∈（－∞，+∞）且有x1＜x2，
（1）当x1＜x2＜1时，x1+x2＜2，即有x1+x2－2＜0．
又∵x2－x1＞0，∴（x2―x1）（x2+x1―2）＜0，则知
又对于x∈R，
恒成立，∴
∴函数
在（－∞，1）上单调递增．
（2）当1≤x1＜x2时，x1+x2＞2，即有x1+x2－2＞0．
又∵x2－x1＞0，∴（x2―x1）（x2+x1―2）＞0，则知
．∴
在[1，+∞）上单调递减．
综上，函数
在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．
∵x2―2x=（x―1）2―1≥－1，
的值域为（0，3]．
解法二：
的下义域为R，令u=x2－2x，则
∵u=x2―2x=（x―1）2―1，在（―∞，1]上是减函数，
在其定义域内是减函数，∴函数
在（－∞，1]内为增函数．
又
在其定义域内为减函数，而u=x2―2x=（x―1）2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数
在[1，+∞）上是减函数．
值域的求法同解法一．
【总结升华】由本例可知，研究
型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：
即当a＞1时，
的单调性与
的单调性相同；
当0＜a＜1时，
的单调与
的单调性相反．
【变式1】求函数
的单调区间及值域.
上单增，在
上单减.
【解析】[1]复合函数——分解为：
u=-x2+3x-2，y=3u；
[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间；
[3]求值域.
设u=-x2+3x-2，y=3u，
其中y=3u为R上的单调增函数，u=-x2+3x-2在
上单增，
u=-x2+3x-2在
上单减，
则
在
上单减.
又u=-x2+3x-2
的值域为
【变式2】求函数
的单调区间.
【解析】当a>
1时，外层函数y=au在
上为增函数，内函数u=x2-2x在区间
上为减函数，在区间
上为增函数，故函数
上为增函数；
当0<
上为减函数，内函数u=x2-2x在区间
在区间
上为增函数，在区间
上为减函数.
例4．证明函数
在定义域上为增函数.
【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。
【解析】定义域为x
R，任取x1<
x2，
，∴
又a>
1，x1<
x2，∴
，∴f（x1）<
f（x2），
另：
，∵
，a>
1且x2-x1>
0，
【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具体函数.因此，在学习中，尽量体会从一般到特殊的过程.
例5．判断下列各数的大小关系：
（1）1.8a与1.8a+1；
（2）
（3）22.5，（2.5）0，
【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。
（1）1.8a<
1.8a+1
（2）
（4）当a>
，当0<
（1）因为底数1.8>
1，所以函数y=1.8x为单调增函数，
又因为a<
a+1，所以1.8a<
1.8a+1.
（2）因为
，又
是减函数，所以
．
（3）因为
【总结升华】
（1）注意利用单调性解题的规范书写；
（2）不是同底的尽量化为同底数幂进行比较（因为同底才能用单调性）；
（3）不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小（常用的中间量是“0”和“1”）.
【变式1】比较大小：
（1）22.1与22.3
（2）3.53与3.23（3）0.9-0.3与1.1-0.1
（4）0.90.3与0.70.4（5）
（1）22.1＜22.3
（2）3.53＞3.23.观察两函数值，底数不同，而指数不变——不是指数函数，而是y=x3，它为增函数.
（3）由0.9-0.3，0<
0.9<
1，-0.3<
00.9-0.3>
1.1>
1，-0.1<
00<
1.1-0.1<
1，则0.9-0.3>
1.1-0.1；
（4）由指数函数图象相对位置关系——数形结合，0.90.3>
0.70.4.
（5）∵
为减函数，
为增函数，
时，y>
另解：
幂函数
为增函数，则有
，（下略）.
【高清课堂：
指数函数369066例1】
【变式2】利用函数的性质比较
作出
的图象知
所以
【变式3】比较1.5-0.2，1.30.7，
的大小.
【解析】先比较
的大小.由于底数
（0，1），∴
在R上是减函数，∵
，再考虑指数函数y=1.3x，由于1.3>
1，所以y=1.3x在R上为增函数1.30.7>
1.30=1，∴
【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；
不能化成同底数的，要考虑引进第三个数（如0，1等）分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.
例6.（分类讨论指数函数的单调性）化简：
【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式的形式，然后对
进行分类讨论，去掉绝对值。
【变式1】如果
（
，且
），求
的取值范
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