二项式知识点十大问题练习含答案资料全docWord文件下载.docx

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4．常用的结论：

令a

1,b

x,

（1

x）n

Cn0

Cn1x

Cn2x2

L

Cnrxr

Cnnxn（nN）

Cn0

Cn1x

Cnrxr

（1）nCnnxn（nN）

5．性质：

①二项式系数的对称性：

与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即

Cnn

，·

·

Cnk

Cnk

1

②二项式系数和：

令ab1

则二项式系数的和为

Cn1

Cn2

LCnr

LCnn

2n，

变形式Cn1

Cnr

2n

1。

③奇数项的二项式系数和

=偶数项的二项式系数和：

在二项式定理中，令

a1,b

1，则Cn0

Cn3

（1）nCnn

（11）n

0，

从而得到：

Cn0

Cn2

Cn4

Cn2r

Cn2r1

2n1

2

④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

（ax）n

Cn0anx0

Cn1an1xCn2an2x2

LCnna0xn

a0

a1x1

a2x2

Lanxn

（xa）n

Cn0a0xn

Cn1axn1

Cn2a2xn2

Cnnanx0

anxn

a2x2

令x

1,则a0

a1

a2

a3L

an

（a1）n

①

1,则a0

a3

an（a1）n

②

②得,a0

a4L

（a

1）n

（a1）n（奇数项的系数和

）

1）n

②得,a1

a5L

（a

（偶数项的系数和）

n

⑤二项式系数的最大项：

如果二项式的幂指数

n是偶数时，则中间一项的二项式系数

Cn2取

得最大值。

如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数

n1

Cn

Cn

同时取得最大值。

⑥系数的最大项：

求（abx）n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。

设展开式中各项

系数分别

为A1,A2,

An1，设第r

Ar1

Ar

r来。

1项系数最大，应有

，从而解出

专题一

题型一：

二项式定理的逆用；

例：

Cn1

Cn26Cn362

LCnn6n1

.

解：

（16）n

6

62

Cn363

Cnn6n与已知的有一些差距，

Cn26Cn362

1（Cn16Cn262

LCnn6n）

1（Cn0

Cnn

6n

1）

1[（16）n

1]

1（7n1）

练：

3Cn2

9Cn3

L3n1Cnn

设Sn

3Cn2

9Cn3

3n1Cnn

，则

3Sn

Cn13Cn232

Cn333

LCnn3n

LCnn3n

1（13）n

Sn

3）n

4n

3

题型二：

利用通项公式求

xn的系数；

在二项式（4

x2）n的展开式中倒数第

3项的系数为45，求含有x3的项的系数？

x

由条件知Cnn2

45，即Cn2

45，

n2

900，解得n

9（舍去）或n

10，

由

10r

10r2

Tr1

r

4

3r

3,解得r

6，

C10（x4）

（x

C10x

，由题意

则含有x3的项是第

7

项T6

C106x3

210x3

系数为210。

求（x2

）9展开式中x9

的系数？

2x

1）r

C9rx182r

（1）rxr

C9r

（1）rx183r，令183r

Tr1

C9r（x2）9r（

9,则

r3

故x9的系数为C93（

1）3

21

。

题型三：

利用通项公式求常数项；

求二项式（x2

）10的展开式中的常数项？

C10r（x2）10r

）r

C10r

（1）r

20

5r

Tr

（

，令20

0，得r

8，所以

T9

C108

（1）8

45

256

求二项式（2x

）6的展开式中的常数项？

1）r

（1）r

r

（1）r

C6r（2x）6

r（

1）rC6r26

x6

2r

，令62r

3，所以

T4

1）3C63

若（x2

1）n的二项展开式中第

5项为常数项，则

____.

T5

Cn4（x2）n4

（1）4

Cn4x2n12，令2n12

0，得n6.

题型四：

利用通项公式，再讨论而确定有理数项；

求二项式（

x）9展开式中的有理项？