步步高届高三数学大一轮复习 97抛物线教案 理 新人教A版Word格式文档下载.docx

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焦点

F

离心率

e＝1

准线方程

x＝－

x＝

y＝－

y＝

范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R

开口方向

向右

向左

向上

向下

[难点正本　疑点清源]

1．抛物线的定义

抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：

可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．

2．抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，

等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．

3．求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程．

1．动圆过点（1,0），且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．

答案　y2＝4x

解析　设动圆的圆心坐标为（x，y），则圆心到点（1,0）的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.

2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆

＋

＝1的右焦点重合，则p的值为________．

答案　4

解析　因为椭圆

＝1的右焦点为（2,0），所以抛物线y2＝2px的焦点为（2,0），

则p＝4.

3．（2012·

重庆）过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝

，|AF|<

|BF|，则|AF|＝________.

答案　

解析　由于y2＝2x的焦点坐标为

，设AB所在直线的方程为y＝k

，A（x1，y1），B（x2，y2），x1<

x2，将y＝k

代入y2＝2x，得k2

2＝2x，

∴k2x2－（k2＋2）x＋

＝0.∴x1x2＝

.

而x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝

，

∴x1＋x2＝

.∴x1＝

，x2＝

∴|AF|＝x1＋

＝

4．（2012·

四川）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝（　　）

A．2

B．2

C．4D．2

答案　B

解析　由题意设抛物线方程为y2＝2px（p>

0），则M到焦点的距离为xM＋

＝2＋

＝3，

∴p＝2，∴y2＝4x.∴y

＝4×

2＝8，

∴|OM|＝

＝2

5．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（　　）

A.

B．[－2,2]

C．[－1,1]D．[－4,4]

答案　C

解析　Q（－2,0），设直线l的方程为y＝k（x＋2），代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋（4k2－8）x＋4k2＝0，

由Δ＝（4k2－8）2－4k2·

4k2＝64（1－k2）≥0，

解得－1≤k≤1.

题型一　抛物线的定义及应用

例1

　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3,2），求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．

思维启迪：

由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为求|PA|＋d的问题．

解　将x＝3代入抛物线方程

y2＝2x，得y＝±

∵

>

2，∴A在抛物线内部，如图．

设抛物线上点P到准线l：

的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为

，即|PA|＋|PF|的最小值为

，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为（2,2）．

探究提高　与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．

（2011·

辽宁）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）

B．1C.

D.

解析　∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋

∴xA＋xB＝

∴线段AB的中点到y轴的距离为

题型二　抛物线的标准方程和几何性质

例2

　抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2

，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．

首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数．

解　由题意，抛物线方程为x2＝2ay（a≠0）．

设公共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧，

则|MA|＝|AN|，而|AN|＝

∵|ON|＝3，∴|OA|＝

＝2，∴N（

，±

2）．

∵N点在抛物线上，∴5＝2a·

（±

2），即2a＝±

故抛物线的方程为x2＝

y或x2＝－

y.

抛物线x2＝

y的焦点坐标为

，准线方程为y＝－

抛物线x2＝－

，准线方程为y＝

探究提高　

（1）由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程．

（2）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．

如图，已知抛物线y2＝2px（p>

0）有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．

解　设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为

x，

由

得x＝0或x＝

∴A点坐标为

，B点坐标为（2pk2，－2pk），

由|OA|＝1，|OB|＝8，

可得

②÷

①解方程组得k6＝64，即k2＝4.

则p2＝

又p>

0，则p＝

，故所求抛物线方程为y2＝

x.

题型三　直线与抛物线的位置关系

例3

　（2011·

江西）已知过抛物线y2＝2px（p>

0）的焦点，斜率为2

的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1<

x2）两点，且|AB|＝9.

（1）求该抛物线的方程．

（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若

＋λ

，求λ的值．

（1）联立方程，利用焦点弦公式求解；

（2）先求出A、B坐标，利用关系式表示出点C坐标，再利用点C在抛物线上求解．

解　

（1）直线AB的方程是y＝2

（x－

），与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝

由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，

所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.

（2）由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，

从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2

，y2＝4

从而A（1，－2

），B（4,4

）．

设

＝（x3，y3）＝（1，－2

）＋λ（4,4

）

＝（4λ＋1，4

λ－2

），

又y

＝8x3，所以[2

（2λ－1）]2＝8（4λ＋1），

即（2λ－1）2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.

探究提高　

（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

设抛物线C：

y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点．

（1）设l的斜率为1，求|AB|的大小；

（2）求证：

·

是一个定值．

（1）解　∵F（1,0），∴直线l的方程为y＝x－1，

设A（x1，y1），B（x2，y2），由

得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，x1x2＝1.

∴|AB|＝

＝8.

（2）证明　设直线l的方程为x＝ky＋1，

得y2－4ky－4＝0.

∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，

＝（x1，y1），

＝（x2，y2）．

＝x1x2＋y1y2

＝（ky1＋1）（ky2＋1）＋y1y2

＝k2y1y2＋k（y1＋y2）＋1＋y1y2

＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.

∴

直线与抛物线的位置关系问题

典例：

（12分）（2011·

湖南）已知平面内一动点P到点F（1,0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求

的最小值．

审题视角　

（1）依题设可知，利用直接法求轨迹方程；

（2）先设直线l1的斜率为k，依题设条件可求出

关于k的解析式，利用基本不等式求最值．

规范解答

解　

（1）设动点P的坐标为（x，y），由题意有

－|x|＝1.

化简得y2＝2x＋2|x|.

当x≥0时，y2＝4x；

当x<

0时，y＝0.

所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x（x≥0）和y＝0（x<

0）．[5分]

（2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k（x－1）．

得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0.[7分]

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，

于是x1＋x2＝2＋

，x1x2＝1.

因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－

设D（x3，y3），E（x4，y4），

则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.[9分]

故

＝（

）·

（

＝|

|·

|

|＋|

＝（x1＋1）（x2＋1）＋（x3＋1）（x4＋1）

＝x1x2＋（x1＋x2）＋1＋x3x4＋（x3＋x4）＋1

＝1＋

＋1＋1＋（2＋4k2）＋1

＝8＋4

≥8＋4×

2

＝16.[11分]

当且仅当k2＝

，即k＝±

1时，

取最小值16.[12分]

答题模板

第一步：

联立方程，得关于x或y的一元二次方程；

第二步：

写出根与系数的关系，并求出Δ>

0时参数范围（或指出直线过曲线内一点）

第三步：

建立关于所求问题的目标函数；

第四步：

最值问题常结合函数单调性或基本不等式求出；

定值问题只证明函数为常数函数，与变量无关；

第五步：

反思回顾，有无忽略特