步步高届高三数学大一轮复习 97抛物线教案 理 新人教A版Word格式文档下载.docx
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焦点
F
离心率
e=1
准线方程
x=-
x=
y=-
y=
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
[难点正本 疑点清源]
1.抛物线的定义
抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容:
可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,可以使运算化繁为简.
2.抛物线方程中,字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离,
等于焦点到抛物线顶点的距离.牢记它对解题非常有益.
3.求抛物线方程时,要依据题设条件,弄清抛物线的对称轴和开口方向,正确地选择抛物线的标准方程.
1.动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为__________.
答案 y2=4x
解析 设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x.
2.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆
+
=1的右焦点重合,则p的值为________.
答案 4
解析 因为椭圆
=1的右焦点为(2,0),所以抛物线y2=2px的焦点为(2,0),
则p=4.
3.(2012·
重庆)过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=
,|AF|<
|BF|,则|AF|=________.
答案
解析 由于y2=2x的焦点坐标为
,设AB所在直线的方程为y=k
,A(x1,y1),B(x2,y2),x1<
x2,将y=k
代入y2=2x,得k2
2=2x,
∴k2x2-(k2+2)x+
=0.∴x1x2=
.
而x1+x2+p=x1+x2+1=
,
∴x1+x2=
.∴x1=
,x2=
∴|AF|=x1+
=
4.(2012·
四川)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=( )
A.2
B.2
C.4D.2
答案 B
解析 由题意设抛物线方程为y2=2px(p>
0),则M到焦点的距离为xM+
=2+
=3,
∴p=2,∴y2=4x.∴y
=4×
2=8,
∴|OM|=
=2
5.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
A.
B.[-2,2]
C.[-1,1]D.[-4,4]
答案 C
解析 Q(-2,0),设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,
由Δ=(4k2-8)2-4k2·
4k2=64(1-k2)≥0,
解得-1≤k≤1.
题型一 抛物线的定义及应用
例1
已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时点P的坐标.
思维启迪:
由定义知,抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d,求|PA|+|PF|的问题可转化为求|PA|+d的问题.
解 将x=3代入抛物线方程
y2=2x,得y=±
∵
>
2,∴A在抛物线内部,如图.
设抛物线上点P到准线l:
的距离为d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为
,即|PA|+|PF|的最小值为
,此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,∴点P的坐标为(2,2).
探究提高 与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
(2011·
辽宁)已知F是抛物线y2=x的焦点,A、B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( )
B.1C.
D.
解析 ∵|AF|+|BF|=xA+xB+
∴xA+xB=
∴线段AB的中点到y轴的距离为
题型二 抛物线的标准方程和几何性质
例2
抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,它与圆x2+y2=9相交,公共弦MN的长为2
,求该抛物线的方程,并写出它的焦点坐标与准线方程.
首先确定方程的形式,根据条件列方程确定方程中的系数.
解 由题意,抛物线方程为x2=2ay(a≠0).
设公共弦MN交y轴于A,N在y轴右侧,
则|MA|=|AN|,而|AN|=
∵|ON|=3,∴|OA|=
=2,∴N(
,±
2).
∵N点在抛物线上,∴5=2a·
(±
2),即2a=±
故抛物线的方程为x2=
y或x2=-
y.
抛物线x2=
y的焦点坐标为
,准线方程为y=-
抛物线x2=-
,准线方程为y=
探究提高
(1)由抛物线的标准方程,可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值,再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程.
(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
如图,已知抛物线y2=2px(p>
0)有一个内接直角三角形,直角顶点在原点,两直角边OA与OB的长分别为1和8,求抛物线的方程.
解 设直线OA的方程为y=kx,k≠0,则直线OB的方程为
x,
由
得x=0或x=
∴A点坐标为
,B点坐标为(2pk2,-2pk),
由|OA|=1,|OB|=8,
可得
②÷
①解方程组得k6=64,即k2=4.
则p2=
又p>
0,则p=
,故所求抛物线方程为y2=
x.
题型三 直线与抛物线的位置关系
例3
(2011·
江西)已知过抛物线y2=2px(p>
0)的焦点,斜率为2
的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<
x2)两点,且|AB|=9.
(1)求该抛物线的方程.
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若
+λ
,求λ的值.
(1)联立方程,利用焦点弦公式求解;
(2)先求出A、B坐标,利用关系式表示出点C坐标,再利用点C在抛物线上求解.
解
(1)直线AB的方程是y=2
(x-
),与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=
由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,
所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.
(2)由p=4知4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0,
从而x1=1,x2=4,y1=-2
,y2=4
从而A(1,-2
),B(4,4
).
设
=(x3,y3)=(1,-2
)+λ(4,4
)
=(4λ+1,4
λ-2
),
又y
=8x3,所以[2
(2λ-1)]2=8(4λ+1),
即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.
探究提高
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系;
(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
设抛物线C:
y2=4x,F为C的焦点,过F的直线l与C相交于A、B两点.
(1)设l的斜率为1,求|AB|的大小;
(2)求证:
·
是一个定值.
(1)解 ∵F(1,0),∴直线l的方程为y=x-1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),由
得x2-6x+1=0,∴x1+x2=6,x1x2=1.
∴|AB|=
=8.
(2)证明 设直线l的方程为x=ky+1,
得y2-4ky-4=0.
∴y1+y2=4k,y1y2=-4,
=(x1,y1),
=(x2,y2).
=x1x2+y1y2
=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2
=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2
=-4k2+4k2+1-4=-3.
∴
直线与抛物线的位置关系问题
典例:
(12分)(2011·
湖南)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求
的最小值.
审题视角
(1)依题设可知,利用直接法求轨迹方程;
(2)先设直线l1的斜率为k,依题设条件可求出
关于k的解析式,利用基本不等式求最值.
规范解答
解
(1)设动点P的坐标为(x,y),由题意有
-|x|=1.
化简得y2=2x+2|x|.
当x≥0时,y2=4x;
当x<
0时,y=0.
所以,动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x≥0)和y=0(x<
0).[5分]
(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方程为y=k(x-1).
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.[7分]
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,
于是x1+x2=2+
,x1x2=1.
因为l1⊥l2,所以l2的斜率为-
设D(x3,y3),E(x4,y4),
则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.[9分]
故
=(
)·
(
=|
|·
|
|+|
=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)
=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1
=1+
+1+1+(2+4k2)+1
=8+4
≥8+4×
2
=16.[11分]
当且仅当k2=
,即k=±
1时,
取最小值16.[12分]
答题模板
第一步:
联立方程,得关于x或y的一元二次方程;
第二步:
写出根与系数的关系,并求出Δ>
0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)
第三步:
建立关于所求问题的目标函数;
第四步:
最值问题常结合函数单调性或基本不等式求出;
定值问题只证明函数为常数函数,与变量无关;
第五步:
反思回顾,有无忽略特