高中数学换元法解题案例及练习题Word文件下载.docx
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Ⅰ、再现性题组：
1.y＝sinx·
cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f（x
＋1）＝log
（4－x
）（a>
1），则f（x）的值域是_______________。
3.已知数列{a
}中，a
＝－1，a
·
a
＝a
－a
，则数列通项a
＝___________。
4.设实数x、y满足x
＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
5.方程
＝3的解是_______________。
6.不等式log
（2
－1）·
log
－2）〈2的解集是_______________。
【简解】1小题：
设sinx+cosx＝t∈[－
]，则y＝
＋t－
，对称轴t＝－1，当t＝
，y
＝
；
2小题：
设x
＋1＝t（t≥1），则f（t）＝log
[-（t-1）
＋4]，所以值域为（－∞,log
4]；
3小题：
已知变形为
－
＝－1,设b
，则b
＝－1,b
＝－1＋（n－1）（-1）＝－n，所以a
＝－
4小题：
设x＋y＝k，则x
－2kx＋1＝0,△＝4k
－4≥0,所以k≥1或k≤－1；
5小题：
设3
＝y，则3y
＋2y－1＝0,解得y＝
，所以x＝－1；
6小题：
设log
－1）＝y，则y（y＋1）<
2，解得－2<
y<
1，所以x∈（log
log
3）。
Ⅱ、示范性题组：
例1.实数x、y满足4x
－5xy＋4y
＝5（①式），设S＝x
，求
的值。
（93年全国高中数学联赛题）
【分析】由S＝x
联想到cos
α＋sin
α＝1,于是进行三角换元，设
代入①式求S
和S
【解】设
代入①式得：
4S－5S·
sinαcosα＝5
解得S＝
；
∵-1≤sin2α≤1∴3≤8－5sin2α≤13∴
≤
∴
此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝
的有界性而求，即解不等式：
|
|≤1。
这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
【另解】由S＝x
，设x
＋t，y
－t，t∈[－
，
]，
则xy＝±
4S±
5
=5，
移项平方整理得100t
+39S
－160S＋100＝0。
∴39S
－160S＋100≤0解得：
≤S≤
【注】此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x
与三角公式cos
α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。
第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x
而按照均值换元的思路，设x
＋t、y
－t，减少了元的个数，问题且容易求解。
另外，还用到了求值域的几种方法：
有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。
本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a
＋13b
＝5，求得a
∈[0,
]，所以S＝（a－b）
＋（a＋b）
＝2（a
＋b
）＝
∈[
]，再求
例2．△ABC的三个内角A、B、C满足：
A＋C＝2B，
，求cos
（96年全国理）
【分析】由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°
”的性质，可得
由“A＋C＝120°
”进行均值换元，则设
，再代入可求cosα即cos
。
【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得
由A＋C＝120°
，设
，代入已知等式得：
＝－2
解得：
cosα＝
，即：
cos
【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°
，B＝60°
所以
＋m，
－m，
所以cosA＝
，cosC＝
，两式分别相加、相减得：
cosA＋cosC＝2cos
＝cos
cosA－cosC＝－2sin
sin
即：
，＝－
，代入sin
＋cos
＝1整理得：
3m
－16m－12＝0,解出m
＝6，代入cos
【注】本题两种解法由“A＋C＝120°
”、“
”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。
假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：
由A＋C＝2B，得A＋C＝120°
，即cosA＋cosC＝－2
cosAcosC，和积互化得：
2cos
[cos（A+C）＋cos（A-C），即cos
cos（A-C）＝
（2cos
－1），整理得：
＋2cos
－3
＝0,
y
,
x
例3.设a>
0，求f（x）＝2a（sinx＋cosx）－sinx·
cosx－2a
的最大值和最小值。
【解】设sinx＋cosx＝t，则t∈[-
]，由（sinx＋cosx）
＝1＋2sinx·
cosx得：
sinx·
cosx＝
∴f（x）＝g（t）＝－
（t－2a）
（a>
0），t∈[-
]
t＝-
时，取最小值：
－2a
－2
a－
当2a≥
时，t＝
，取最大值：
当0<
2a≤
时，t＝2a，取最大值：
。
∴f（x）的最小值为－2a
，最大值为
【注】此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·
cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。
换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-
]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。
本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f（sinx±
cosx，sinxcsox），经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
例4.设对所于有实数x，不等式x
＋2xlog
＋log
>
0恒成立，求a的取值范围。
（87年全国理）
【分析】不等式中log
、log
、log
三项有何联系？
进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。
【解】设log
＝t，则log
＝log
＝3＋log
＝3－log
＝3－t，log
＝2log
＝－2t，
代入后原不等式简化为（3－t）x
＋2tx－2t>
0，它对一切实数x恒成立，所以：
，解得
∴t<
0即log
<
0<
1，解得0<
a<
1。
【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。
为什么会想到换元及如何设元，关键是发现已知不等式中log
三项之间的联系。
在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。
另外，本题还要求对数运算十分熟练。
一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。
例5.已知
，且
（②式），求
【解】设
＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sin
θ＋cos
θ＝k
（x
+y
）＝1,代入②式得：
即：
设
＝t，则t＋
解得：
t＝3或
∴
＝±
或±
【另解】由
＝tgθ，将等式②两边同时除以
，再表示成含tgθ的式子：
1＋tg
θ＝
tg
θ，设tg
θ＝t，则3t
—10t＋3＝0，
∴t＝3或
，解得
【注】第一种解法由
而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。
第二种解法将已知变形为
，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。
两种解法要求代数变形比较熟练。
在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。
例6.实数x、y满足
＝1，若x＋y－k>
0恒成立，求k的范围。
【分析】由已知条件
＝1，可以发现它与a
＝1有相似之处，于是实施三角换元。
【解】由
＝1，设
＝cosθ，
＝sinθ，
代入不等式x＋y－k>
0得：
3cosθ＋4sinθ－k>
0，即k<
3cosθ＋4sinθ＝5sin（θ+ψ）
所以k<
-5时不等式恒成立。
【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。
一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。
x＋y－k>
k平面区域
本题另一种解题思路是使用数形结合法的
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