数字信号处理实验一FFT变换及其应用Word格式.docx
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若信号本身是有限长的序列，计算序列的频谱就是直接对序列进行FFT运算求得X（k）,X（k）就代表了序列在[0,2]之间的频谱值。
幅度谱：
相位谱：
为避免产生混叠现象，采样频率fs应大于2倍信号的最高频率fc，为了满足采样定理，一般在采样之前要设置一个抗混叠低通滤波器。
用FFT对模拟信号进行谱分析的方框图如下所示。
图1.1FFT对模拟信号进行谱分析的方框图
2.应用FFT实现快速卷积涉及的基础知识如下：
一个信号序列x（n）与系统的卷积可表示为下式：
Y（n）=x（n）*h（n）=
当是一个有限长序列，且0nN-1时，有：
Y（n）=
此时就可以应用FFT来快速计算有限长度序列的线性卷积。
也就是先将输入信号x（n）通过FFT变换为它的频谱采样值X（k），然后再和滤波器的频响采样值H（k）相乘，最后再将乘积通过快速傅里叶变换（简称IFFT）还原为时域序列，即得到输出。
如下图所示。
图1.2FFT实现卷积的过程示意图
2.1．当序列x（n）和h（n）的长度差不多时
设x（n）的长度为N1，h（n）的长度为N2，则用FFT完成卷积的具体步骤如下：
①为使两有限长序列的线性卷积可用其循环卷积代替而不发生混叠，必须选择循环卷积长度N≥N1+N2-1
②用补零方法使x（n）和h（n）变成列长为N的序列。
③用FFT计算x（n）和h（n）的N点离散傅里叶变换
④完成X（k）和H（k）的乘积Y（k）。
⑤用FFT计算的离散傅里叶反变换得y（n）
2.2当x（n）长度很长时可采用分段卷积的方法即重叠相加法和重叠保留法。
（二）实验项目
（1）用FFT进行频谱分析
1）对高斯序列进行频谱分析
代码如下：
n=0:
15;
p=8;
q=2;
x=exp（-1*（n-p）.^2/q）;
closeall;
subplot（3,1,1）;
stem（fft（x））;
%利用fft函数实现傅里叶变换
subplot（3,1,2）;
stem（abs（fft（x）））;
%绘制幅度谱
subplot（3,1,3）;
stem（angle（fft（x）））%绘制相位谱
代码是为了得出此高斯序列的快速傅里叶变换，得到DFT的频谱特征图、幅频特征图和相频特征图。
a）固定信号参数P=8，改变q的值依次为2、4、8，结果如下图：
P=8，q=2
图2-1
P=8，q=4
图2-2
P=8，q=8
图2-3
结果分析：
从图中可以看出，当固定p的值，改变q，可观察到：
随着q的增加，幅频图中趋近与0和等于0的个数增多。
可见q的增大使DFT幅频图中幅度平均值减小，且p是序列的对称轴，时域轴都关于n=8对称。
当q=2、4、8时，频域变化越来越快，中间水平部分越来越大，混叠减弱。
b）固定信号参数q=8，改变p的值依次为8、13、14，结果如下图：
q=8，P=8
图2-4
q=8，p=13
图2-5
p=14，q=8
图2-6
当固定q的值，改变p，可观察到：
随着p的增大，图形越来越偏
离真实值，当p=14时泄漏现象较明显，频域波形随p的增大频率
分量会增多，易产生混叠。
2）对正弦序列进行频谱分析
%定义序列长度
a=0.1;
f=0.0625;
x=exp（-a*n）.*sin（2*pi*f*n）;
subplot（2,1,1）;
stem（x）;
title（'
衰减正弦序列'
）;
subplot（2,1,2）;
%绘制幅度谱
x信号的频谱'
）
a）固定参数a=0.1，改变f，分别为0.5625、0.4375、0.0625，结果如下图：
f=0.5625
图2-7
f=0.4375
图2-8
f=0.0625
图2-9
观察可知，当f=0.4375，0.5625时，时域图像关于Y轴对称，频域完
全相同。
随着f值增大，时域序列周期变小。
频域序列的高频分量逐渐
增多，低频分量逐渐减少，因为所取的频率不符合采样定理，以致发
生严重的频谱混叠和泄漏。
3）对三角序列进行频谱分析
fori=1:
4
x（i）=i;
end
fori=5:
8
x（i）=9-i;
fori=9:
16
x（i）=0;
closeall
stem（abs（fft（x）））%绘制幅度谱
其频谱图如下所示：
图2-10
此编程实现三角序列，中间两个值是相等的，然后我们根据fft函数快
速求出x在各个n值上所对应的傅里叶变换值，得到结果如下：
Y=[18.46403.1605-16.3681i-5.3021-2.2394i-0.3336+0.3570i
0.1333+0.0145i0.7981-0.5599i-0.0955-0.4109i0.3750–
0.0802i0.06460.3750+0.0802i-0.0955+0.4109i0.7981+
0.5599i0.1333-0.0145i-0.3336-0.3570i-5.3021+2.2394i
3.1605+16.3681i]然后分别求出各点处的大小（实部的平方加虚部的
平方开根号），得出来的大小和图像近似相等。
此三角序列的时域表达
式为：
当1≤n≤4时x（n）=n；
当5≤n≤8时x（n）=9-n。
a）反三角序列：
Fori=1:
x（i）=5-i；
end
Fori=5:
x（i）=i-4；
closeall
stem（abs（fft（x,16）））
图2-11
b）半三角序列（直角三角形序列）：
代码1如下：
fori=1:
8
x（i）=i-1；
end
stem（abs（fft（x）））
代码2如下：
x（i）=8-i；
图2-13
c）只有一个峰值：
x（i）=i;
x（i）=8-i;
图2-14
（2）使用FFT实现卷积运算
已知：
x1（n）=RN（n）,1N10;
x2（n）=8sin（0.5*pi*n+4）1N10;
x3（n）=0.8*exp（3*n）1N10;
使用FFT实现以上3种卷积。
n=[1:
1:
10];
N1=length（n）;
xn1=ones（1,N1）;
xn2=8*sin（0.5*pi*n+4）;
xn3=0.8*exp（3*n）;
N=N1+N1-1;
X1k=fft（xn1,N）;
X2k=fft（xn2,N）;
X3k=fft（xn3,N）;
Yk1=X1k.*X2k;
Yk2=X1k.*X3k;
Yk3=X2k.*X3k;
yn1=ifft（Yk1,N）;
yn2=ifft（Yk2,N）;
yn3=ifft（Yk3,N）;
x=0:
N-1;
stem（x,yn1,'
.'
）
stem（x,yn2,'
stem（x,yn3,'
用FFT计算卷积，实验结果如下图：
图2-15
X1n=[111111111];
x2n=[80-8080-8080];
X1n*x2n=[0
880088008008800880]，其IFFT变换为8*（exp（j*2*w）
+exp（j*3*w）+exp（j*6*w）+exp（j*7*w）+exp（j*10*w）+exp（j*13*w）
+exp（j*14*w）+exp（j*17*w）+exp（j*18*w））=8*（1+exp（j*w））
*（exp（j*2*w）+exp（j*6*w）+exp（j*13*w）+exp（j*17*w））+8*exp（j*10*
w），Matlab运行的结果与手工计算的结果完全一致，由此可知此代码
是正确的。
（3）一个综合性实例
1）创建简易界面
使用MATLAB中的图形用户接口功能，设计简单的操作界面，如图1.6所示。
界面中包含列表框，滑动块，按钮和静态文本。
其中列表中，包含正弦波、方波和锯齿波；
移动滑动块可以改变图形的周期，且周期数在静态文本中显示；
点击“退出”按钮则退出程序。
界面如下图：
图2-16
a）当列表框中选择‘正弦波’，周期数为4时，产生的时域波形和频谱图如下：
图2-17
b）当列表框中选择‘方波’，周期数为4时，产生的时域波形和频谱图如下：
图2-18
c）当列表框中选择‘三角波’，周期数为4时，产生的时域波形和频谱图如下：
图2-19
d）当列表框中选择‘锯齿波’，周期数为4时，产生的时域波形和频谱图如下：
图2-20
四、实验小结
本次实验按照实验指导书，基本是按照原有的代码和步骤基础上来做的，实验中也遇到了一系列的问题：
一，前后参数不一致，即在改变参数的时候，由于粗心使得前后参数形式不一致，而导致运行出错；
二，在matl
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