中考总复习关于二次函数的经典题型汇总含答案.docx

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1、如图，抛物线 y=ax2+bx﹣与 x 轴交于 A（1，0）、B（6，0）两点，

D 是 y 轴上一点，连接 DA，延长 DA 交抛物线于点 E．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若 E 点在第一象限，过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F，△ADO 与△AEF 的面积比为

=，求出点 E 的坐标；

（3）若 D 是 y 轴上的动点，过 D 点作与 x 轴平行的直线交抛物线于 M、N 两点，是否存在点 D，使 DA2=DM•DN？

若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．

2、抛物线 经过点A 和点B（0,3）,且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积.

3、如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．

（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范图；

（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．

4、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（8，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D．

①是否存在点P，使线段PD的长度最大？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②当△PDC与△COA相似时，求点P的坐标．

5、已知：

如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

6、如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；

①设点P为线段BD上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF面积的最大值；

②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

7、如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；

（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：

是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8、如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．

（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．

①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．

9、如图，抛物线y=ax2+4x+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），点E（4，5），与y轴交于点B，连接AB．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F．

①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的面积；

②当点F到直线AE的距离为时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标．

10、如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．

（1）填空：

抛物线的顶点坐标为      （用含m的代数式表示）；

（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；

（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．

11、如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．

（1）求线段AD的长；

（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．

12、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）试探究：

在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？

若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

13、已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：

AP∥BC；

（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？

若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

14、如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：

3两部分，请直接写出P点坐标．

15、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；

（3）点D为抛物线对称轴上一点．

①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；

②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．

16、如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线于点M．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

17、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（，0），B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，且OB=3OA=OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P的横坐标为m，当FH=HP时，求m的值；

（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求AQ+EQ的最小值．

18、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？

若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

19、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．

①求线段PM的最大值；

②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．

．

20、如图，已知抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C.

（1）求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；

（2）点M为坐标平面内一点，若MA=MB=MC，求点M的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点E，使∠ABE=∠ACB？

若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

1、解：

（1）将 A（1，0），B（6，0）代入函数解析式，得

解得，

抛物线的解析式为 y=﹣x2+x﹣；

（2）∵EF⊥x 轴于点 F，

∴∠AFE=90°．

∵∠AOD=∠AFE=90°，∠OAD=∠FAE，

∴△AOD∽△AFE．

∵==

∵AO=1，

∴AF=3，OF=3+1=4，

  当 x=4 时，y=﹣×42+×4﹣=，

∴E 点坐标是（4，），

（3）存在点 D，使 DA2=DM•DN，理由如下：

设 D 点坐标为（0，n），

AD2=1+n2，

当 y=n 时，﹣x2+x﹣=n

化简，得

﹣3x2+21x﹣18﹣4n=0，设方程的两根为 x1，x2， x1•x2=

DM=x1，DN=x2，

DA2=DM•DN，即 1+n2=，

化简，得

3n2﹣4n﹣15=0，解得 n1=，n2=3，

∴D 点坐标为（0，﹣）或（0，3）．

2、解：

设线段AB所在直线为：

y=kx+b

解得AB解析式为：

∴CD=CE-DE=2

3、

解：

（1）由题意得，，解得，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x，

令y=0，得x2﹣2x=0，解得x=0或2，

结合图象知，A的坐标为（2，0），

根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范图是0≤x≤2；

（2）设直线AB的解析式为y=mx+n，

则，解得，

∴y=3x﹣6，

设直线AP的解析式为y=kx+c，

∵PA⊥BA，∴k=，

则有，解得c=，

∴，解得或，

∴点P的坐标为（），

∴△PAB的面积=|﹣|×||﹣×||×﹣×|﹣|×||﹣×|2﹣1|×|0﹣（﹣3）|=．

4、解：

（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线y=﹣x2+bx+c，

得：

，解得：

，

∴抛物线的解析式为：

y=﹣x2+x+4；（3分）

（2）由

（1）知C（0，4），∵B（8，0），

易得直线BC的解析式为：

y=﹣x+4，

①如图1，过P作PG⊥x轴于G，PG交BC于E，

Rt△BOC中，OC=4，OB=8，

∴BC==4，

在Rt△PDE中，PD=PE•sin∠PED=PE•sin∠OCB=PE，

∴当线段PE最长时，PD的长最大，

设P（t，），则E（t，），

∴PG=﹣，EG=﹣t+4，

∴PE=PG﹣EG=（﹣）﹣（﹣t+4）=﹣t2+2t=﹣（t﹣4）2+4，（0＜t＜8），

当t=4时，PE有最大值是4，