中考数学 第一编 教材知识梳理篇 第五章 图形的相似与解直角三角形 第一节 图形的相似与位似试题.docx
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中考数学第一编教材知识梳理篇第五章图形的相似与解直角三角形第一节图形的相似与位似试题
第五章 图形的相似与解直角三角形
第一节 图形的相似与位似
河北8年中考命题规律）
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
15
相似三角形判定
从一个三角形纸片剪下一个三角形判定与原三角形相似条件
2
2
2014
13
相似三角形
相似多边形的判定
根据已知方式变换后得到新图形，判定两个图形是否相似
3
3
2013
11
相似三角形的判定及性质
以菱形为背景，利用菱形的性质及相似三角形的判定及性质求线段长度
3
3
2012
23②
位似图形
涉及作位似图形及相关计算
3
3
2011
9
相似三角形的判定及性质
以三角形中的折叠为背景，利用相似三角形的判定及性质求线段比值
3
20
位似图形
（1）作与已知图形位似的三角形；
（2）求四边形周长
8
11
2010
24③
相似三角形判定及性质
利用相似三角形的判定及性质求线段比值
3
3
命题
规律
纵观河北8年中考，本考点共考查了7次，题型有选择题、解答题，分值2～11分，难度中偏下，基础题为主，其中相似三角形的判定和性质考查了3次，相似多边形考查了1次（选择题），位似图形考查了2次．
命题预测
预计2017年河北中考对本节内容仍会做重点考查，故在复习中多加训练.
河北8年中考真题及模拟）
图形相似的判定及性质（5次）
1．（2016河北15题2分）如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ C ）
A） ,B） ,C） ,D）
2．（2011河北9题3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D、E分别在AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ B ）
A. B．2 C．3 D．4
3．（2014河北13题3分）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：
将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似.
乙：
将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ A ）
A．两人都对B．两人都不对
C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
图形的位似（2次）
4．（2016河北23题9分）如图
（1），E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧．
（1）AE和ED的数量关系为__AE＝ED__；
AE和ED的位置关系为__AE⊥ED__；
（2）在图
（1）中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD，分别和到图
（2）和图（3）．
①在图
（2）中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中点，求证：
GH＝HD，GH⊥HD.
②在图（3）中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD.（用含k的代数式表示）
解：
（2）①由题意，得∠B＝∠C＝90°，AB＝BE＝EC＝DC.
∵△EGF与△EAB的相似比为1∶2，
∴∠GFE＝∠B＝90°，GF＝AB，EF＝EB，
∴∠GFE＝∠C，
∴EH＝HC＝EC，
∴GF＝HC，FH＝FE＋EH＝EB＋EC＝BC＝EC＝CD，
∴△HGF≌△DHC.
∴GH＝HD，∠GHF＝∠HDC.
∵∠HDC＋∠DHC＝90°，
∴∠GHF＋∠DHC＝90°.
∴∠GHD＝90°，∴GH⊥HD.
②∵当GH＝HD，GH⊥HD时，
∴∠FHG＋∠DHC＝90°，
∵∠FHG＋∠FGH＝90°，∴∠FGH＝∠DHC，
∴
∴△GFH≌△HCD.∴FG＝CH.
∵EF＝FG，∴EF＝CH.
∵△EGF与△EAB的相似比是k∶1，BC＝2，
∴BE＝EC＝1，
∴EF＝k，∴CH的长为k.
5．（2011河北20题8分）如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2；
（2）连接
（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）
解：
（1）略；
（2）4＋6.
6．（2016沧州八中一模）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于（ A ）
A．5∶8B．3∶8C．3∶5D．2∶5
7．（2016河北石家庄二十八中一模）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4，则△EFC的周长为（ D ）
A．11B．10C．9D．8
8．（2016保定博野模拟）在直角坐标系中，已知点A（－2，0），B（0，4），C（0，3），过C作直线交x轴于D，使以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似．这样的直线最多可以作（ C ）
A．2条B．3条C．4条D．6条
9．（2016邯郸涉县一模）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（ D ）
A．4B．2C．5D．3
10．（2016河北保定十七中一模）下列四组图形中，一定相似的是（ D ）
A．正方形与矩形
B．正方形与菱形
C．菱形与菱形
D．正五边形与正五边形
11．（2016河北唐山十二中二模）如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A，B的对应点分别为点A′，B′，点A，B，A′，B′均在图中的格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（ D ）
A.B．（m，n）
C.D.
12．（2016河北唐山五十四中二模）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，CE，BD交于点F，若AE∶BE＝4∶3，且BF＝2，则DF＝____．
13．（2016河北唐山友谊中学一模）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是__（，）__．
14．（2016河北石家庄二十八中一模）如图，点B在线段AC上，点D，C在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC.
（1）求证：
AC＝AD＋CE；
（2）若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q.若点P与A，B两点不重合，求的值．
解：
（1）∵∠A＝∠C＝90°，DB⊥BE，∴∠ADB＋∠ABD＝90°，∠ABD＋∠EBC＝90°.∴∠ADB＝∠EBC.又AD＝BC，∴△ADB≌△CBE（ASA），∴AB＝CE.∴AC＝BC＋AB＝AD＋CE；
（2）过点Q作QH⊥BC于点H，则△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE，∴＝，＝.设AP＝x，QH＝y，则有＝，∴BH＝，PH＝＋5－x，∴＝，即（x－5）·（3y－5x）＝0.又点P不与A，B重合，∴x≠5，即x－5≠0.∴3y－5x＝0，即3y＝5x.∴＝＝.
中考考点清单）
比例的相关概念及性质
1．线段的比：
两条线段的比是两条线段的__长度__之比．
2．比例中项：
如果＝，即b2＝__ac__，我们就把b叫做a、c的比例中项．
3．比例的性质
性质1
＝⇔__ad__＝bc（a、b、c、d≠0）．
性质2
如果＝，那么＝.
性质3
如果＝＝…＝（b＋d＋…＋n≠0），则＝__（不唯一）__.
4.黄金分割：
如果点C把线段AB分成两条线段，使＝____，那么点C叫做线段AC的__黄金分割点__，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做__黄金比__．
相似三角形的判定及性质
相似三角形的判定及性质为河北近7年的必考点，考查题型为选择题、解答题，仅2014年单纯考查相似三角形与相似四边形的判定，其余均为与几何图形结合，解答过程中利用三角形相似的判定及性质求线段长度．主要设问方式为证明三角形相似，再利用相似求线段长度及判断图形相似等．
5．定义：
对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
6．性质：
（1）相似三角形的__对应角__相等；
（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
（3）相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__．
7．判定：
（1）__有两角__对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似；
（3）三边__对应成比例__，两三角形相似；
（4）两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：
（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定
（1）．
（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定
（1）]或再找夹边成比例[用判定
（2）]．
（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等．
（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例．
（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，可找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案．
如：
＝，此式正确．那么想一想，哪种情况是错误的呢？
请举例说明．
相似多边形
8．定义：
对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
9．性质：
（1）相似多边形的对应边__成比例__；
（2）相似多边形的对应角__相等__；
（3）相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__．
位似图形
10．定义：
如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．
11．性质：
（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于__k或－k__；
（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__．
12．找位似中心的方法：
将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__．
13．画位似图形的步骤：
（1）确定__位似中心__；
（2）确定原图形的关键点；
（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；
（4）作出原图形中各关键点的对应点；
（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
中考重难点突破）
比例的性质
【例1】已知＝＝，且3a－2b＋c＝20，则2a－4b＋c的值为____．
【学生解答】－6
【点拨】设＝＝＝k（k≠0），用含k的式子表示a、b、c，代入等式3a－2b＋c＝20求出k值，再求出a、b、c值代入可求．
1．（2015河北沧州十三中一模）若x∶y＝1∶3，2y＝3z，则
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