天津市南开区届高三第二次高考模拟考试数学文附答案Word格式.docx
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（A）x1，x2∈R，（f（x2）–f（x1））（x2–x1）≤0
（B）x1，x2∈R，（f（x2）–f（x1））（x2–x1）≤0
（C）x1，x2∈R，（f（x2）–f（x1））（x2–x1）＜0
（D）x1，x2∈R，（f（x2）–f（x1））（x2–x1）＜0
（3）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）．
（A）10（B）11
（C）12（D）13
（4）下列函数是奇函数的是（）．
（A）f（x）=–|x|（B）f（x）=lg（1+x）–lg（1–x）
（C）f（x）=2x+2–x（D）f（x）=x3–1
（5）如图所示的程序框图表示求算式“2×
4×
8×
16×
32×
64”的值，则判断框内可以填入（）．
（A）k＜132?
（B）k＜70?
（C）k＜64?
（D）k＜63?
（6）已知双曲线C：
–
=1的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）．
（A）
=1（B）
=1
（C）
=1（D）
=1
（7）已知函数f（x）=sin（x+
）（x∈R，＞0）的最小正周期为，将y=f（x）的图象向左平移||个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（）．
（B）
（D）
（8）在△ABC中，若|
+
|=|
|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则
•
（A）
第Ⅱ卷
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；
2．本卷共12小题，共110分．
得分
评卷人
二、填空题：
本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。
（9）在区间[–2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为
，则m=．
（10）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x|（x–1）2≤4}，则A∩B=．
（11）一个几何体的三视图如图所示（单位：
m），则该几何体的体积为m3．
（12）已知圆x2+y2+2x–2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是．
（13）如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线
交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．若AD=AB=2，
则EB=．
（14）已知函数f（x）=
，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为．
三、解答题：
（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（15）（本小题满分13分）
一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．
（Ⅰ）用卡片上的数字列出所有可能的结果；
（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；
（Ⅲ）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
（16）（本小题满分13分）
已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2
sin2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，求f（B）的取值范围．
（17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为的PC中点，AD=CD=1，DB=2
．
（Ⅰ）证明：
PA∥平面BDE；
（Ⅱ）证明：
AC⊥平面PBD；
（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成角的正切值．
（18）（本小题满分13分）
已知椭圆C：
（a＞b＞0），其中e=
，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为
，且
=
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求实数的值．
（19）（本小题满分14分）
在等比数列{an}中，已知a1=2，且a2，a1+a3，a4成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）设数列{an2–an}的前n项和为Sn，记bn=
，求证：
数列{bn}的前n项和Tn＜
（20）（本小题满分14分）
设函数f（x）=lnx–
ax2–bx．
（Ⅰ）当a=b=
时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+
ax2+bx+
（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤
恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0，b=–1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
数学试卷（文史类）参考答案
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
D
C
B
A
B
（9）3；
（10）（–
，3]；
（11）18+9；
（12）–4；
（13）
；
（14）（2，2016）
（其他正确解法请比照给分）
（15）解：
（Ⅰ）由题意，（a，b，c）所有的可能为：
（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），
（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（1，1，2），（2，1，3），
（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），
（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），
（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种．…………6分
（Ⅱ）设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A，则事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3种，
所以P（A）=
=
．…………9分
因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为
（Ⅲ）设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，
则事件
包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3种．
所以P（B）=1–P（
）=1–
．
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为
．…………13分
（16）解：
（Ⅰ）f（x）=1+sin2x+
（1–cos2x）=sin2x–
cos2x+1+
=2sin（2x–
）+1+
…………5分
∴f（x）的最小正周期T=
=．…………6分
（Ⅱ）由2acosC+c=2b可得2a
+c=2b，即b2+c2–a2=bc，…………8分
∴cosA=
，∴A=
，B+C=
，…………10分
∴0＜B＜
，∴–
＜2B–
＜，…………11分
因为f（B）=2sin（2B–
）+1+
，
所以–
＜sin（2B–
）≤1，f（B）∈（1，3+
]．…………13分
（17）解：
（Ⅰ）设AC∩BD=H，连结EH，
在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，
所以H为AC的中点，又由题设，E为PC的中点，故HE∥PA，
又HE平面BDE，PA平面BDE，所以PA∥平面BDE．…………4分
（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC，
由（Ⅰ）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，故AC⊥平面PBD．…………4分
（Ⅲ）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，
所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角．
由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2
，可得DH=CH=
，BH=
在Rt△BHC中，tan∠CBH=
所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为
．…………13分
（18）解：
（Ⅰ）由条件可知，c=1，a=2，故b2=a2–c2=3，
椭圆的标准方程是
．…………4分
（Ⅱ）由
，可知A，B，M三点共线，
设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．
若直线AB⊥x轴，则x1=x2=4，不合题意．…………5分
当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x–4）．
由
消去y得，（3+4k2）x2–32k2x+64k2–12=0．①…………7分
由①的判别式△=322k4–4（4k2+3）（64k2–12）=144（1–4k2）＞0，解得k2＜
x1+x2=
，x1x2=
，可得k2=
，即有k=
．…………10分
将k2=
代入方程①，得7x2–8x–8=0，
则x1=
，x2=
．…………11分
又因为
=（4–x1，–y1），
=（x2–4，y2），
所以=
（19）解：
（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由已知得：
2（a1+a3）=a2+a4，
即2（a1+a1q2）=a1q+a1q3，解得q=2，
又∵a1=2，
∴an=a1qn–1=2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
Sn=（a12+a22+a32+…+an2）–（a1+a2+a32+…+an）
=（4+42+43+…+4n）–（2+22+23+…+2n）
（2n–1）（2n+1–1）…………9分
∴bn=
（
）…………11分
∴Tn=
+…+
）
（1–
）＜
．…………14分
（20）解：
（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0
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