全国高中数学联合竞赛试题与解答A卷Word下载.docx

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，均有

的最小值为

7．双曲线C的方程为

，左、右焦点分别为

、

，过点

作直线与双曲线C的右半支交于点P，Q，使得

的内切圆半径是

8．设

是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足

则这样的有序数组

的个数为

二、解答题：

本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9．（本题满分16分）在

中，已知

．求

的最大值．

10．（本题满分20分）已知

是R上的奇函数，

，且对任意

．

求

…

的值．

11．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系

中，F是

轴正半轴上的一个动点．以F为焦点，O为顶点作抛物线C．设P是第一象限内C上的一点，Q是

轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且｜PQ｜=2.圆

均与直线OP相切于点P，且均与轴相切．求点F的坐标，使圆

与

的面积之和取到最小值．

20XX年全国高中数学联合竞赛加试

一、（本题满分40分）设实数

。

的最大值。

二、（本题满分40分）如图所示，在

中，X，Y是直线BC上两点（X，B，C，Y顺次排列），使得

设

的外心分别为

，直线

与AB，AC分别交于点U，V。

证明：

是等腰三角形。

三、（本题满分50分）给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值。

四、（本题满分50分）设

均是素数，

数列

的定义为

，…。

这里

表示不小于实数

的最小整数。

参考答案及评分标准

3.评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；

4.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分一个档次，不要增加其他中间档次．

答案：

解：

由

可得

，原不等式可变形为

即

，所以

．又

，故

由运算性质，

，因为

为实数，

，又

，从而

因此，

的模为

令

条件化为

，由此可得

，因此

一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值

小于从B中取走的两张纸币的总面值

．故只能从A中国取走两张1元纸币，相应的取法数为

．又此时

，即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有

种取法．因此，所求的概率为

知，AC为底面圆的直径．设底面中心为O，则

平面ABC，易知

，进而

设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点．在底面中作

于点K，则由三垂线定理知

为二面角M—BC—A的平面角．

因

，结合

平行知，

，即

，这样

．故二面角M—BC—A的大小为

16

由条件知，

其中当且仅当

时，

取到最大值．根据条件知，任意一个长为1的开区间

至少包含一个最大值点，从而

反之，当

时，任意一个开区间均包含

的一个完整周期，此时

成立．综上可知，正整数的最小值为

由双曲线的性质知，

从而直角

的内切圆半径是

40

由柯西不等式知，

，等号成立的充分必要条件是

成等比数列．于是问题等价于计算满足

的等比数列

的个数．设等比数列的公比

，且

为有理数．记

为互素的正整数，且

先考虑

的情况．

此时

，注意到

互素，故

为正整数．相应地，

分别等于

，它们均为正整数．这表明，对任意给定的

，满足条件并以

为公比的等比数列

的个数，即为满足不等式

的正整数

的个数，即

由于

，故仅需考虑

这些情况，相应的等比数列的个数为

当

时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列

综上可知，共有40个满足条件的有序数组

由数量积的定义及余弦定理知，

同理得，

．故已知条件化为

．………………………………8分

由余弦定理及基本不等式，得

所以

．………………………………12分

等号成立当且仅当

．因此

的最大值是

．……………16分

=1，2，3，…），则

在

中取

，及

为奇函数．可知

……………………5分

．……………………10分

因此

……………………20分

设抛物线C的方程是

，点Q的坐标为

，并设

的圆心分别为

设直线PQ的方程为

，将其与C的方程联立，消去

可知

因为PQ与C相切于点P，所以上述方程的判别式为

，解得

．进而可知，点P的坐标为

．于是

由｜PQ｜=2可得

①……………………5分

注意到OP与圆

相切于点P，所以

．设圆

轴分别相切于点M，N，则

分别是

的平分线，故

．从而由射影定理知

结合①，就有

②……………………10分

共线，可得

化简得

③……………………15分

，则圆

的面积之和为

．根据题意，仅需考虑T取到最小值的情况．

根据②、③可知，

作代换

，由于

上式等号成立当且仅当

，此时

，因此结合①得，

从而F的坐标为

．………………………20分

20XX年全国高中数学联合竞赛

加试

由已知得，对

…，2015，均有

若

……………10分

以下考虑

的情况。

约定

由平均不等式得

………………20分

………………30分

时，上述不等式等号成立，且有

综上所述，所求最大值为

………………40分

证法一：

作

的内角平分线交BC于点P，设三角形ACX和ABY的外接圆分别为

和

由内角平分线的性质知，

由条件可得

从而

…………20分

故P对圆

的幂相等，所以P在

的根轴上。

…………30分

于是

，这表明点U，V关于直线AP对称，从而三角形AUV是等腰三角形。

…………40分

证法二：

的外心为O，连接

过点

，分别作直线BC的垂线，垂足分别为

，作于点K。

我们证明。

在直角三角形

中，

由外心性质，

又

而

分别是BC，CX的中点，所以

这里R是

的外接圆半径。

同理

…………10分

由已知条件可得

90°

又因为

这样

以这10个点为顶点，所连线段为边。

得到一个10阶简单图G。

我们证明G的边数不超过15.

设G的顶点为

，共有

条边，用

表示顶点

的度。

对

…，10都成立，则

假设存在

不妨设

均相邻。

之间没有边，否则就形成三角形，所以，

之间恰有

条边。

对每个

至多与

中的一个顶点相邻（否则设

相邻，则

就对应了一个空间四边形的四个顶点，这与题设条件矛盾。

）从而

之间的边数至多

条。

这

个顶点之间，由于没有三角