高考数学大一轮复习27函数的图象教师用书理苏教版Word格式.docx

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（3）伸缩变换

y＝f（ax）．

y＝af（x）．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝|f（x）|与y＝f（|x|）的图象相同．（　×

　）

（2）函数y＝af（x）与y＝f（ax）（a>

0且a≠1）的图象相同．（　×

（3）函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于原点对称．（　×

（4）若函数y＝f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称．（　√　）

（5）将函数y＝f（－x）的图象向右平移1个单位得到函数y＝f（－x－1）的图象．（　×

（6）不论a（a>

0且a≠1）取何值，函数y＝loga2|x－1|的图象恒过定点（2,0）．（　×

1．函数y＝1－

的图象是________．

答案　②

解析　将y＝－

的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y＝1－

的图象．由图知②正确．

2．（2013·

北京改编）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f（x）的解析式为________．

答案　f（x）＝e－x－1

解析　与y＝ex图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f（x）图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f（x）的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f（x）＝e－（x＋1）＝e－x－1.

3．如图，定义在[－1，＋∞）上的函数f（x）的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f（x）的解析式为________．

答案　f（x）＝

解析　当x∈[－1,0]时，设y＝kx＋b，由图象得

解得

∴y＝x＋1.

当x>

0时，设y＝a（x－2）2－1，

由图象得0＝a（4－2）2－1，解得a＝

，

∴y＝

（x－2）2－1.

综上可知f（x）＝

4．已知函数f（x）＝

的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是________．

答案　[－1,2）

解析　令x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2，

所以三个解必须为－1，－2和2，所以有－1≤m<

2.

题型一　作函数的图象

例1　分别画出下列函数的图象：

（1）y＝|lgx|；

（2）y＝2x＋2；

（3）y＝x2－2|x|－1;

（4）y＝

.

解　

（1）y＝

图象如图①.

（2）将y＝2x的图象向左平移2个单位，图象如图②.

（3）y＝

图象如图③.

（4）因y＝1＋

，先作出y＝

的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝

的图象，如图④.

思维升华　

（1）常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋

（m>

0）的函数是图象变换的基础；

（2）掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧，可以帮助我们简化作图过程．

　作出下列函数的图象．

（1）y＝|x－2|·

（x＋1）；

（2）y＝

解　

（1）当x≥2，

即x－2≥0时，

y＝（x－2）（x＋1）＝x2－x－2

＝（x－

）2－

；

当x<

2，即x－2<

0时，

y＝－（x－2）（x＋1）＝－x2＋x＋2

＝－（x－

）2＋

这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出（如图）．

＝1－

，该函数图象可由函数y＝－

向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如下图所示．

题型二　识图与辨图

例2　函数y＝ax2＋bx与y＝

（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是________．（填序号）

（2）已知f（x）＝

则下列函数的图象正确的为________．（填序号）

答案　

（1）④　

（2）①②③

解析　

（1）函数y＝ax2＋bx的两个零点是0，－

对于①②，由抛物线的图象知，－

∈（0,1），

∴|

|∈（0,1）．

∴函数y＝

不是增函数，错误；

对于③，由抛物线的图象知a<

0且－

<

－1，

∴b<

0且

>

1，∴|

|>

1，

∴函数y＝log|

|x应为增函数，错误；

对于④，由抛物线的图象知a>

0，－

∈（－1,0），

|∈（0,1），满足y＝

为减函数．

（2）先在坐标平面内画出函数y＝f（x）的图象，再将函数y＝f（x）的图象向右平移1个单位长度即可得到y＝f（x－1）的图象，因此①正确；

作函数y＝f（x）的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f（－x）的图象，因此②正确；

y＝f（x）的值域是[0,2]，因此y＝|f（x）|的图象与y＝f（x）的图象重合，③正确；

y＝f（|x|）的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0<

x≤1时，y＝f（|x|）＝

，相应这部分图象不是一条线段，因此④不正确．

综上所述，①②③正确．

思维升华　函数图象的识辨可从以下方面入手：

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；

从函数的值域，判断图象的上下位置；

（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（4）从函数的周期性，判断图象的循环往复；

（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象．

　函数y＝xsinx在[－π，π]上的图象是下列图象中的________．

（2）已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝－f（2－x）的图象为________．

答案　

（1）①　

（2）②

解析　

（1）容易判断函数y＝xsinx为偶函数，可排除④.当0<

x<

时，y＝xsinx>

0，当x＝π时，y＝0，可排除②③，所以符合条件的应为①.

（2）方法一　由y＝f（x）的图象知，

f（x）＝

当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，

所以f（2－x）＝

故y＝－f（2－x）＝

图象应为②.

方法二　当x＝0时，－f（2－x）＝－f

（2）＝－1；

当x＝1时，－f（2－x）＝－f

（1）＝－1.

观察各图象，可知②正确．

题型三　函数图象的应用

例3　已知函数f（x）＝|x2－4x＋3|.

（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；

（2）求集合M＝{m|使方程f（x）＝m有四个不相等的实根}．

思维点拨　可利用图象直观得到函数单调性；

方程解的个数可转化为函数图象交点个数．

解　f（x）＝

作出函数图象如图．

（1）由图象可知，函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞）；

函数的减区间为（－∞，1]，[2,3]．

（2）在同一坐标系中作出y＝f（x）和y＝m的图象，使两函数图象有四个不同的交点（如图）．

由图知0<

m<

1，∴M＝{m|0<

1}．

思维升华　

（1）利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解．数形结合是常用的思想方法．

（2）利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质．

（1）方程x2－|x|＋a＝1有四个不同的实数解，则a的取值范围是________．

（2）当0<

x≤

时，4x<

logax，则a的取值范围是________．

答案　

（1）（1，

）　

（2）（

，1）

解析　

（1）方程解的个数可转化为函数y＝x2－|x|的图象与直线y＝1－a交点的个数，如图：

易知－

1－a<

0，∴1<

a<

（2）∵0<

，∴1<

4x≤2，

∴logax>

4x>

1，∴0<

1.

令f（x）＝4x，g（x）＝logax，

当x＝

时，f（

）＝2.（如图）

令g（

）＝loga

＝2，即a＝

又∵g（x）＝logax，x0∈（0,1），

a1，a2∈（0,1）且a1<

a2时，

>

∴要使当0<

logax成立，

需

高考中的函数图象及应用问题

一、已知函数解析式确定函数图象

典例：

函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝

的图象大致是________．

思维点拨　根据函数的定义域、值域、单调性和特征点确定函数图象．

解析　由函数y＝f（x）的图象知，当x∈（0,2）时，f（x）≥1，所以

f（x）≤0.

又函数f（x）在（0,1）上是减函数，在（1,2）上是增函数，

所以y＝

f（x）在（0,1）上是增函数，在（1,2）上是减函数．结合4个图象知，③正确．

答案　③

温馨提醒　

（1）确定函数的图象，要从函数的性质出发，利用数形结合的思想．

（2）对于给出图象的题，可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除．

二、函数图象的变换问题

若函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝－f（x＋1）的图象大致为________．

思维点拨　从y＝f（x）的图象可先得到y＝－f（x）的图象，再得y＝－f（x＋1）的图象．

解析　要想由y＝f（x）的图象得到y＝－f（x＋1）的图象，需要先将y＝f（x）的图象关于x轴对称得到y＝－f（x）的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f（x＋1）的图象，根据上述步骤可知③正确．

温馨提醒　

（1）对图象的变换问题，从f（x）到f（ax＋b），可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别．

（2）图象变换也可利用特征点的变换进行确定．

三、图象应用

已知函数y＝

的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．

思维点拨　先作函数y＝

的图象，然后利用函数y＝kx－2图象恒过点（0，－2）以及与y＝

图象恰有两个交点确定k的范围．

解析　根据绝对值的意义，

y＝

＝

在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，

当0<

k<

1或1<

4时有两个交点．

答案　（0,1）∪（1,4）

温馨提醒　

（1）本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，解释数学问题的本质．

（2）利用函数图象也可以确定不等式解的情况，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图．

方法与技巧

1．列表描点法是作函数图象的辅助手段，要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状：

（1）可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等；

（2）可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；

（3）可通过方程的同解变形，如作函数y＝

的图象．

2．合理处理识图题与用图题

（1）识图

对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．

（2）用图

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径