人教版初三数学下册《相似三角形的周长与面积》教学设计.docx
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人教版初三数学下册《相似三角形的周长与面积》教学设计
《相似三角形的周长与面积》教学设计
湖南省龙山县第二中学周永辉
一、教学目标
1．知识与技能目标：
（1）使学生理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长与面积的性质.
（2）学会把多边形问题转化为三角形问题来解决的方法.
（3）能够运用相似三角形及相似多边形的周长与面积的性质解决相关问题.
2．过程与方法目标：
（1）通过操作、观察、猜想、类比、证明等数学活动，积累数学活动经验，感受数学思维过程的条理性，进一步提高学生的数学思维能力和推理论证能力．
（2）通过把多边形转化成三角形，体会转化思想在几何中的作用，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法.
3．情感、态度与价值观：
通过对性质的发现和论证的过程，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学习热情、增强探究意识.
二、重点、难点的定位
教学重点：
相似三角形和相似多边形的周长、面积的性质的理解与运用.
教学难点：
探索证明相似多边形面积的性质.
三、基本流程图
活动流程图
活动内容和目的
活动1复习引新
活动2探索并证明相似三角形及相似多边形周长的性质
活动3探索并证明相似三角形的面积的性质
活动4探索并证明相似多边形的面积的性质
活动5举例应用、练习巩固
活动6归纳小结、布置作业
通过复习，强化相似三角形对应角平分线的比、对应高的比、对应中线的比均等于相似比.同时创设问题情境，引出新课.
通过层层设疑，从特殊到一般，由直观到抽象，师生互动探索并证明相似形周长的性质.
教师设疑与点拨，引导学生得出并证明相似三角形面积的性质.
通过转化和类比，得出并证明相似多边形的面积的性质.
在解题过程中，对所学知识加深理解并能灵活运用.
归纳梳理所学知识，通过作业，进一步巩固、提高.
四、教学过程
一
巧
妙
设
疑
一
巧
妙
设
疑
复习
引
入
问题与情境
师生行为
设计意图
活动1
问题：
（1）已知如图:
△ABC～△A’B’C’，相似比为k,AD和A’D’分别为△ABC与△A’B’C’的角平分线,则AD:
A’D’=.
（2）已知如图:
△ABC～△A’B’C’，相似比为k,AD和A’D’分别为△ABC与△A’B’C’的高,则
AD:
A’D’=.
（3）已知如图:
△ABC～△A’B’C’，相似比为k,AD和A’D’分别为△ABC与△A’B’C’的中线,则AD:
A’D’=.
（4）在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为300平方米，周长为120米的三角形绿草地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:
（1）被削去的部分面积有多大？
它的周长是多少？
教师引导学生回忆学过的知识.
用课件演示问题，学生作答.
相似三角形的对应角平分线的比等于相似比.
相似三角形的对应高的比等于相似比.
相似三角形的对应中线的比等于相似比.
问题（4）是生活中的实际问题，要应用本节课的知识才能解决，以此巧妙的引入课题.
D
E
30m
18m
B
C
A
复习引新.
了解本节课知识的必要性，自然地引出本节课题.明确研究方向，激发探究欲望.
二
设计问题
归纳特征
二
设计问题
归纳特征
二
设计问题
归纳特征
活动2
设问引入：
如果△ABC～△A’B’C’，相似比为k,那么△ABC与△A’B’C’的周长和面积与两三角形的相似比会有何关系?
先解答下面的问题：
观察图中
（1）、
（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形.
问：
（1）它们都相似吗？
（2）三个三角形的相似比是多少？
（3）它们的周长的比与相似比有何关系呢？
（4）它们的面积的比与相似比有何关系呢？
探究：
如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？
两个相似多边形呢？
教师请一位学生说出他观察、猜想的结果.教师点拨、纠偏，引导学生正确地解答问题
（1）、
（2）、（3）、（4）.
回到一般的相似三角形来研究问题.
教师在黑板上画两个相似三角形.引导学生说出命题的已知、求证.鼓励并引导学生分析、讨论证法.
相似三角形周长的比等于相似比很容易得出.
本次活动中，教师应重点关注：
（1）学生是否会用相似比与另一个三角形各边长的积分别表示另一个三角形的各边；
（2）学生能否理解证法并独立证明命题2.
通过层层设疑，引领学生不断思考，积极探索，让学生感受知识发生发展的过程，了解在特殊情形下相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
通过性质的探索，进一步强化相似三角形的判定及对应边、对应角特性的应用.并使学生逐步学会如何通过探索发现并证明结论.
活动3
探究：
如果两个三角形相似，它们的面积有什么关系？
如图,△ABC～△A’B’C’，相似比为k,那么△ABC与△A’B’C’的面积比是多少?
问题
（1）欲探讨三角形的面积,图中还需添加什么辅助线?
（2）相似三角形对应边上的高（对应高）与相似比有何关系?
怎么证明?
（可在活动2的图上画出）
（3）如何计算两相似三角形的面积比?
（4）面积比与相似比关系如何?
（5）总结所得结论并规范写出证明过程.
活动4
探究:
如果两个多边形相似,它们的面积有何关系?
问题:
以四边形为例.
如图,四边形ABCD相似于四边形A’B’C’D’,相似比为k,它们的面积比是多少?
（1）如何把四边形转化为你熟悉的三角形?
（2）连接对应对角线AC,A’C’后所得对应三角形△ABC与△A’B’C’、△ACD与△A’C’D’有何关系？
为什么？
（3）根据活动4的结论如何猜想并推证两相似四边形的面积比与相似比的关系？
（4）类似地，两相似多边形的面积比与相似比的关系呢？
相似三角形面积等于相似比的平方的得出难度大一些.
复习三角形面积公式，教师启发学生作出三角形一组对应边上的高.
启发学生先表示出两个三角形的面积再作比，从而通过观察结果与相似比进行对比后得出结论.
教师板书结论，带领学生规范书写证明过程.
本次活动中，教师应重点关注：
（1）学生能否明确认识到添加对应边上的高的必要性；
（2）两面积作比后学生能否得出与相似比的关系；
（3）学生的证明过程是否规范、严谨?
首先教师启发学生连接一条对角线，把四边形转化为两个三角形，于是，四边形的面积就转
化为两个三角形的面积的和.
其次引导学生证明对应三角形相似.
再利用（活动4）得出的结论把一个三角形的面积用与它对应的三角形的面积与相似比的乘积来表示.
最后求得两个四边形的面积后作比，通过约分得到结论.
对于相似多边形的面积比的证明，教师要强调从多边形的一个顶点引（n-3）条对角线，将多边形分割成（n-2）个三角形，证法同上.
本次活动教师应重点关注：
（1）学生能否顺利地通过连接对角线将四边形问题转化为三角形问题；
（2）通过点拨学生是否理解证明相似多边形的面积比时为什么应从一个顶点引出对角线；
（3）学生证明对应三角形相似熟练；
（4）学生是否会把相似三角形的面积比的性质灵活应用；
（5）学生能否类比着相似四边形的面积比的性质的证法来证明相似多边形的面积比的性质.
渗透类比和转化的方法和能力.
通过把多边形问题向三角形问题的转化，使
学生体会转化思想在几何中的作用，同时，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法.
从相似四边形面积比性质的证明到相似多边形面积比性质的证明，进一步渗透类比的数学方法.
三
应用举例
运用新知
活动5
讲解例题
例1判断题：
（1）一个三角形的各边扩大为原来的5倍,这个三角形周长也扩大为原来的5倍.（）
（2）一个四边形的各边扩大为原来的9倍,这个四边形的面积也扩大为原来的9倍.（）
例2.已知如图在△ABC和△A’B’C’中,AB=2A’B’,
AC=2A’C’,∠A=∠A’,△ABC的周长为24,面积为48,求△A’B’C’的周长和面积.
学生独立思考练习，教师点拨纠偏.
对于学生出现的问题，教师应根据错因，对症强调.
例2教师引导学生共同探讨分析，教师板演解题过程，强调过程的严谨和规范.
本次活动教师应重点关注：
（1）学生能否把例题中的已知条件转化为两边对应成比例这一判定相似的条件；
（2）学生能否灵活准确地运用本课的结论；
（3）学生能否理解练习中的实际问题，从而将其转化为数学问题来解决.
通过例题的设置，不仅达到巩固知识的目的，同时也实现了将知识向能力的转化.
实际问题的设置，进一步培养了学生用数学的意识.
四
随堂练习
四
随堂练习
巩固提高
练习1.拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为300平方米，周长为120米的三角形绿草地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个
梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:
（1）被削去的部分面积有多大？
它的周长是多少？
D
E
30m
18m
B
C
A
（2）被削去的部分面积与剩余部分的面积之比为多少？
A
E
D
B
C
练习2如图：
在△ABC中，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，试确定点D（或E）的位置.
回到课前所提的问题，首尾呼应.
学生独立思考练习，教师巡回指导，及时纠偏.叫一生板演解题过程后，师生共同检查解题
过程，强调过程的严谨和规范.
第
（2）问是知识的延伸，培养学生的发散思维，此题既可用计算法得结果，也可通过相似三角形面积比等于相似比的平方得到四边形面积在大三角形中占的份数，从而简单的得出结果.
练习2是教科书27.2第13题，可由学生先独立思考后小组交流的方式完成.
通过练习及时反馈学生学习的情况，便于教师把握授课效果，并能
及时查漏补缺，进一步优化教学，也培养学生踏实、严谨的作风.
学生学习了相似三角形面积的性质且会应用，如果反过来，已知面积的比求相似比，需要学生逆向思考，这样可以激活学生的思维，训练思维的灵活性，达到举一反三的效果.
五
归
纳
小
结
构
建
体
系
六布
置
作
业
巩
固
加
深
活动6
问题1.这节课你知道了什么，学会了什么？
问题2.通过这节课的学习你有什么样的感受？
1、教科书习题27.2第6、14题.
2、拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为300平方米，周长为120米的三角形绿草地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:
归纳小结，构建体系,请学生独立思考，相互交流，并说出自己的想法，教师点评并进行最后归纳.
通过问题1在师生互动中归纳本节课所学的基本知识，基本方法，学生很容易总结出相似三角形及相似多边形的周长与面积的性质.
然后在问题2的导引下通过师生合作交流，让学生谈感受，体会数学的应用价值，明确建模的重要性.
由学生课后完成.
提炼对相似三角形及相似多边形周长与面积性质的归纳，是学生对相似形特征的再认识，是对学生所学知识的提炼和升华，既突出了重点，又培养了学生的概括能力.
第一题是教材上的习题，为必做题，面向全体学生.通过课后学生独立思考，自我评价，使学习效果达到最佳.
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