四年级奥数计数综合组合A级学生版Word格式文档下载.docx

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日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．

一般地，从个不同元素中取出个（）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．

从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．

从个不同元素中取出个元素（）的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作．

一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：

第一步：

从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；

　　第二步：

将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．

根据乘法原理，得到．

因此，组合数．

这个公式就是组合数公式．

二、组合数的重要性质

一般地，组合数有下面的重要性质：

（）

这个公式的直观意义是：

表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法．表示从个元素中取出（）个元素组成一组的所有分组方法．显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的（）个元素的分组方法．

例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即．

规定，．

三、插板法

插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：

①所要分解的物体一般是相同的：

②所要分解的物体必须全部分完：

③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．

在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．

使用插板法一般有如下三种类型：

（1）个人分个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的个空隙中放上个插板，所以分法的数目为．

（2）个人分个东西，要求每个人至少有个．这个时候，我们先发给每个人个，还剩下个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为．

（3）个人分个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了个，因此分法的数目为．

四、排除法

对于某些有特殊要求的计数，当限制条件较多时，可以先计算所有可能的情况，再从中排除掉那些不符合要求的情况．

（1）组合数公式

（2）插板法

一、组合之计算问题

【例1】计算：

，

【巩固】计算：

，．

⑴；

⑵；

⑶．

⑴；

二、组合之基本应用

【例2】某校举行排球单循环赛，有个队参加．问：

共需要进行多少场比赛？

【巩固】芳草地小学举行足球单循环赛，有个队参加．问：

【例1】从分别写有、、、、的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：

⑴有多少个不同的乘积？

有多少个不同的乘法算式？

【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？

【例1】在一个圆周上有个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：

1直线段；

⑵三角形；

⑶四边形．

【巩固】在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？

【例2】在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法？

【巩固】某年级个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种？

三、组合之插板法

【例3】有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？

【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？

【例4】10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法？

【巩固】将个相同的苹果放到个不同的盘子里，允许有盘子空着。

一共有种不同的放法。

【例5】把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？

【巩固】三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？

【例1】

（1）小明有10块糖，每天至少吃1块，8天吃完，共有多少种不同吃法?

（2）小明有10块糖，每天至少吃1块，8天或8天之内吃完，共有多少种吃法?

【巩固】有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？

【随练1】从分别写有、、、、、、、的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？

【随练2】如图，问：

⑴图中，共有多少条线段？

⑵图中，共有多少个角？

　　　　　　　　　　　　　图　　　　　　　　　　　　　　图

【随练3】有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有种吃法．

【作业1】平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？

【作业2】6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？

【作业3】在一次考试的选做题部分，要求在第一题的个小题中选做个小题，在第二题的个小题中选做个小题，在第三题的个小题中选做个小题，有多少种不同的选法？

【作业4】从，，，，中任取三个数字，从，，，中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？

【作业5】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有种不同的放法。

【作业6】把5件相同的礼物全部分给3个小朋友，要使每个小朋友都分到礼物，则分礼物的不同方法一共有种．