四年级奥数计数综合组合A级学生版Word格式文档下载.docx
《四年级奥数计数综合组合A级学生版Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《四年级奥数计数综合组合A级学生版Word格式文档下载.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同学中选出几人参加某项活动等等.这种“分组”问题,就是我们将要讨论的组合问题,这里,我们将着重研究有多少种分组方法的问题.
一般地,从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
从排列和组合的定义可以知道,排列与元素的顺序有关,而组合与顺序无关.如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合,只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.
从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数,叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数.记作.
一般地,求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步:
第一步:
从个不同元素中取出个元素组成一组,共有种方法;
第二步:
将每一个组合中的个元素进行全排列,共有种排法.
根据乘法原理,得到.
因此,组合数.
这个公式就是组合数公式.
二、组合数的重要性质
一般地,组合数有下面的重要性质:
()
这个公式的直观意义是:
表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法.表示从个元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法.显然,从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法.
例如,从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的,即.
规定,.
三、插板法
插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数,使用插板法一般有三个要求:
①所要分解的物体一般是相同的:
②所要分解的物体必须全部分完:
③参与分物体的组至少都分到1个物体,不能有没分到物体的组出现.
在有些题目中,已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符,对此应当对已知条件进行适当的变形,使得它与一般的要求相符,再适用插板法.
使用插板法一般有如下三种类型:
(1)个人分个东西,要求每个人至少有一个.这个时候我们只需要把所有的东西排成一排,在其中的个空隙中放上个插板,所以分法的数目为.
(2)个人分个东西,要求每个人至少有个.这个时候,我们先发给每个人个,还剩下个东西,这个时候,我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了.所以分法的数目为.
(3)个人分个东西,允许有人没有分到.这个时候,我们不妨先借来个东西,每个人多发1个,这样就和类型⑴一样了,不过这时候物品总数变成了个,因此分法的数目为.
四、排除法
对于某些有特殊要求的计数,当限制条件较多时,可以先计算所有可能的情况,再从中排除掉那些不符合要求的情况.
(1)组合数公式
(2)插板法
一、组合之计算问题
【例1】计算:
,
【巩固】计算:
,.
⑴;
⑵;
⑶.
⑴;
二、组合之基本应用
【例2】某校举行排球单循环赛,有个队参加.问:
共需要进行多少场比赛?
【巩固】芳草地小学举行足球单循环赛,有个队参加.问:
【例1】从分别写有、、、、的五张卡片中任取两张,做成一道两个一位数的乘法题,问:
⑴有多少个不同的乘积?
有多少个不同的乘法算式?
【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字,一共有多少种方法?
【例1】在一个圆周上有个点,以这些点为端点或顶点,可以画出多少不同的:
1直线段;
⑵三角形;
⑶四边形.
【巩固】在正七边形中,以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个?
【例2】在一次合唱比赛中,有身高互不相同的8个人要站成两排,每排4个人,且前后对齐.而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高,这样才不会被挡住.一共有多少种不同的排队方法?
【巩固】某年级个班的数学课,分配给甲、乙、丙三名数学老师任教,每人教两个班,分派的方法有多少种?
三、组合之插板法
【例3】有10粒糖,分三天吃完,每天至少吃一粒,共有多少种不同的吃法?
【巩固】小红有10块糖,每天至少吃1块,7天吃完,她共有多少种不同的吃法?
【例4】10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里,允许有的盘子空着.请问一共有多少种不同的放法?
【巩固】将个相同的苹果放到个不同的盘子里,允许有盘子空着。
一共有种不同的放法。
【例5】把20个苹果分给3个小朋友,每人最少分3个,可以有多少种不同的分法?
【巩固】三所学校组织一次联欢晚会,共演出14个节目,如果每校至少演出3个节目,那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种?
【例1】
(1)小明有10块糖,每天至少吃1块,8天吃完,共有多少种不同吃法?
(2)小明有10块糖,每天至少吃1块,8天或8天之内吃完,共有多少种吃法?
【巩固】有10粒糖,每天至少吃一粒,吃完为止,共有多少种不同的吃法?
【随练1】从分别写有、、、、、、、的八张卡片中任取两张,做成一道两个一位数的加法题,有多少种不同的和?
【随练2】如图,问:
⑴图中,共有多少条线段?
⑵图中,共有多少个角?
图 图
【随练3】有12块糖,小光要6天吃完,每天至少要吃一块,问共有种吃法.
【作业1】平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?
【作业2】6个朋友聚会,每两人握手一次,一共握手多少次?
【作业3】在一次考试的选做题部分,要求在第一题的个小题中选做个小题,在第二题的个小题中选做个小题,在第三题的个小题中选做个小题,有多少种不同的选法?
【作业4】从,,,,中任取三个数字,从,,,中任取两个数字,组成没有重复数字的五位数,一共可以组成多少个数?
【作业5】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排,要求三盆红花互不相邻,共有种不同的放法。
【作业6】把5件相同的礼物全部分给3个小朋友,要使每个小朋友都分到礼物,则分礼物的不同方法一共有种.