概率论与数理统计 答案 第七章Word格式.docx
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（解唯一）故为极大似然估计量。
，
解得
，（解唯一）故为极大似然估计量。
4．[四
（2）]设X1，X1，…，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。
（1）矩估计X~π（λ），E（X）=λ，故
=
为矩估计量。
（2）极大似然估计
为极大似然估计量。
（其中
5．[六]一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。
假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。
P是该地区一块石子是石灰石的概率。
求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下
样品中属石灰石的石子数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
观察到石灰石的样品个数
23
26
21
12
λ的极大似然估计值为
=0.499
[四
（1）]设总体X具有分布律
X
Pk
θ2
2θ（1－θ）
（1－θ）2
其中θ（0<
θ<
1）为未知参数。
已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。
（1）求θ的矩估计值
则得到θ的矩估计值为
（2）求θ的最大似然估计值
似然函数
lnL（θ）=ln2+5lnθ+ln（1－θ）
求导
得到唯一解为
8．[九
（1）]设总体X~N（μ，σ2），X1，X1，…，Xn是来自X的一个样本。
试确定常数c使
的无偏估计。
由于
当
[十]设X1，X2，X3，X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，设有估计量
（1）指出T1，T2，T3哪几个是θ的无偏估计量；
（2）在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。
（1）由于Xi服从均值为θ的指数分布，所以
E（Xi）=θ,D（Xi）=θ2,i=1,2,3,4
由数学期望的性质2°
，3°
有
即T1，T2是θ的无偏估计量
（2）由方差的性质2°
并注意到X1，X2，X3，X4独立，知
D（T1）>
D（T2）
所以T2较为有效。
14.[十四]设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.05.75.86.57.06.35.66.15.0。
设干燥时间总体服从正态分布N~（μ，σ2），求μ的置信度为0.95的置信区间。
（1）若由以往经验知σ=0.6（小时）
（2）若σ为未知。
（1）μ的置信度为0.95的置信区间为（
），
计算得
（2）μ的置信度为0.95的置信区间为（
），计算得
，查表t0.025（8）=2.3060.
16.[十六]随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为s=11（m/s）。
设炮口速度服从正态分布。
求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间。
σ的置信度为0.95的置信区间为
其中α=0.05,n=9
查表知
19.[十九]研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。
设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s，取样本容量为n1=n2=20.得燃烧率的样本均值分别为
设两样本独立，求两燃烧率总体均值差μ1－μ2的置信度为0.99的置信区间。
μ1－μ2的置信度为0.99的置信区间为
其中α=0.01，z0.005=2.58,n1=n2=20,
20.[二十]设两位化验员A，B独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为
分别为A，B所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的。
设两样本独立，求方差比
的置信度为0.95的置信区间。
的置信度为0.95的置信区间
=（0.222,3.601）.
其中n1=n2=10，α=0.05，F0.025（9,9）=4.03,
第八章假设检验
1.[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.253.273.243.263.24。
设测定值总体服从正态分布，问在α=0.01下能否接受假设：
这批矿砂的含镍量的均值为3.25.
设测定值总体X～N（μ，σ2），μ，σ2均未知
步骤：
（1）提出假设检验H
：
μ=3.25;
H1：
μ≠3.25
（2）选取检验统计量为
（3）H
的拒绝域为|t|≥
（4）n=5,α=0.01，由计算知
查表t0.005（4）=4.6041,
（5）故在α=0.01下，接受假设H0
2．[二]如果一个矩形的宽度ω与长度l的比
，这样的矩形称为黄金矩形。
这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。
现代建筑构件（如窗架）、
工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。
下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。
设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为μ，试检验假设（取α=0.05）
H0：
μ=0.618H1：
μ≠0.618
0.6930.7490.6540.6700.6620.6720.6150.6060.6900.6280.668
0.6110.6060.6090.6010.5530.5700.8440.5760.933.
（1）H0：
μ=0.618；
（3）H0的拒绝域为|t|≥
（4）n=20α=0.05，计算知
（5）故在α=0.05下，接受H0，认为这批矩形的宽度和长度的比值为0.618
3.[三]要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为σ=100小时的正态分布。
试在显著水平α=0.05下确定这批元件是否合格？
设总体均值为μ。
即需检验假设H0：
μ≥1000，H1：
μ<
1000。
μ≥1000；
H1：
1000；
（σ=100已知）
（2）H0的拒绝域为
（3）n=25，α=0.05，
计算知
（4）故在α=0.05下，拒绝H0，即认为这批元件不合格。
12.[十一]一个小学校长在报纸上看到这样的报导：
“这一城市的初中学生平均每周看8小时电视”。
她认为她所领导的学校，学生看电视的时间明显小于该数字。
为此她向100个学生作了调查，得知平均每周看电视的时间
小时，样本标准差为s=2小时。
问是否可以认为这位校长的看法是对的？
取α=0.05。
（注：
这是大样本检验问题。
由中心极限定理和斯鲁茨基定理知道不管总体服从什么分布，只要方差存在，当n充分
大时
近似地服从正态分布。
）
（1）提出假设H0：
μ≤8；
μ>
（2）当n充分大时，
近似地服从N（0，1）分布
（3）H0的拒绝域近似为
≥zα
（4）n=100，α=0.05，
，S=2，由计算知
（5）故在α=0.05下，拒绝H0，即认为校长的看法是不对的。
14.[十三]某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005（欧姆）。
今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007（欧姆），设总体为正态分布。
问在水平α=0.05能否认为这批导线的标准差显著地偏大？
（1）提出H0：
σ≤0.005；
σ>
0.005
（3）n=9，α=0.05，S=0.007，由计算知
查表
（4）故在α=0.05下，拒绝H0，认为这批导线的标准差显著地偏大。
15.[十四]在题2中记总体的标准差为σ。
试检验假设（取α=0.05）
σ2=0.112，H1：
σ2≠0.112。
步骤
（1）H0：
σ2=0.112；
σ2≠0.112
（3）H0的拒绝域为
（4）n=20，α=0.05，由计算知S2=0.09252，
查表知
（5）故在α=0.05，接受H0，认为总体的标准差σ为0.11.
16.[十五]测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出s=0.037%，设测定值总体为正态分布，σ2为总体方差。
试在水平α=0.05下检验假设H0：
σ≥0.04%；
σ<
0.04%。
σ2≥（0.04%）2；
σ2<
（0.04%）2
（3）n=10，α=0.05，S=0.037%，查表知
由计算知
（4）故在α=0.05下，接受H0，认为σ大于0.04%
17.[十六]在第6[五]题中分别记两个总体的方差为
试检验假设（取α=0.05）H0：
以说在第6[五]题中我们假设
是合理的。
（2）选取检验统计量为
（4）n1=8，n2=10，α=0.05，查表知F0.025（7,9）=4.20
F0.975（7,9）<
F<
F0.025（7,9）
（5）故在α=0.05下，接受H0，认为
18.[十七]在第8题[七]中分别记两个总体的方差为
以说明在第8[七]题中我们假设
（2）选取检验统计量
（3）n1=n2=12，α=0.05，查表知
F0.025（11,11）=3.34，
（4）故在α=0.05下，接受H0，认为
24.[二十三]检查了一本书的100页，记录各页中印刷错误的个数，其结果为
错误个数fi
≥7
含fi个错误的页数
36
40
19
问能否认为一页的印刷错误个数服从泊松分布（取α=0.05）。
总体X~π（λ）；
X不服从泊松布；
（λ未知）
（2）当H0成立时，λ的最大似然估计为
（4）n=100
对于j>
3，
将其合并得
合并后，K=4，Y=1
（5）故在α=0.05下，接受H0，认为一页的印刷错误个数服从泊松分布。
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