高三总复习导数专题总结归纳word版本Word格式.docx
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为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了
定义域的限制.
4•含参数的函数的极值（最值）问题常在以下情况下需要分类讨论：
（1）导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；
（2）导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论；
（3）端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；
（4）参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论
5.求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数f（x）的定义域（定义域优先）；
（2）求导函数f（x）；
⑶在函数f（x）的定义域内求不等式「（X）•0或「（x）：
：
0的解集.
⑷由f（x）£
（f（x）<
0）的解集确定函数f（x）的单调增（减）区间•若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间.
6.由函数f（x）在（a,b）上的单调性，求参数范围问题，可转化为f（x）_0（或f（x）_0）
恒成立问题，要注意二”是否可以取到.
7.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；
另
外注意函数最值是个整体”概念，而极值是个局部”概念.
8.函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思
想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转
化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用
9.导数及其应用通常围绕四个点进行命题•第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求
曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也
考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；
第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值（最值）展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学
思想方法；
第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成
立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数
研究函数性质的方法和函数性质的应用；
第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式
和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用.
10.函数的单调性问题与导数的关系
（1）函数的单调性与导数的关系：
设函数y二f（x）在某个区间内可导，若「（x）.0，
则f（x）为增函数；
若f/（x）:
:
0，则f（x）为减函数•
（2）用导数函数求单调区间方法
求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到
区间为增区间，解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不
用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论；
（3）已知在某个区间上的单调性求参数问题
先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒
成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满
足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加
（4）注意区分函数在某个区间上是增（减）函数与函数的增（减）区间是某各区间的区
别，函数在某个区间上是增（减）函数中的区间可以是该函数增（减）区间的子集•
11.函数的极值与导数
（1）函数极值的概念
设函数y二f（X）在X。
附近有定义，若对X。
附近的所有点，都有f（X）：
f（X。
），则称
f（x°
）是函数f（X）的一个极大值，记作y极大值=f（X0）；
设函数y=f（x）在X°
附近有定义，若对X°
附近的所有点，都有f（x）-f（x°
f（xj是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x°
）.
注意：
极值是研究函数在某一点附近的性质，使局部性质；
极值可有多个值，且极大值
不定大于极小值；
极值点不能在函数端点处取•
（2）函数极值与导数的关系
当函数y=f（x）在x0处连续时，若在x0附近的左侧f/（X）•0，右侧f/（X）：
0,那么f（X0）是极大值；
若在X0附近的左侧f/（x）<
0，右侧f/（x）・0，那么f（X0）是极小值•
①在导数为0的点不一定是极值点，如函数y=X3，导数为y/=3x2，在X=0处导数为0，但不是极
值点；
②极值点导数不定为0，如函数y=|X|在X=0的左侧是减函数，右侧是增函数，在
_（0+3）_（_0）
x=0处取极小值，但在x=0处的左导数lim=-1，有导数
一氐x
（0+也x）—（0）
lim=1，在x=0处的导数不存在.
•J0■x
（3）函数的极值问题
①求函数的极值，先求导函数，令导函数为0，求出导函数为0点，方程的根和导数
不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点取极小值，要说明在哪一点去极大（小）值；
2已知极值求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0,列出关于参数方程，
求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0的必要不充分条件，
故需将参数代入检验在给点的是否去极值；
3已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有
解，判别式大于0,求出参数的范围.
12.最值问题
（1）最值的概念
对函数y=f（x）有函数值f（x0）使对定义域内任意X，都有f（x）乞f（x。
）
（f（x）_f（x。
））则称f（x°
）是函数y=f（x）的最大（小）值.
①若函数存在最大（小）值，则值唯一；
最大值可以在端点处取；
若函数的最大
值、最小值都存在，则最大值一定大于最小值
②最大值不一定是极大值，若函数是单峰函数，则极大（小）值就是最大（小）值.
（2）函数最问题
1对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最
大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的
单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；
2对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式f（x）<
（>
）g（a）（x是自变量，a是参数）恒成立问题，g（a）>
f（X）max（Wf（x）min），
转化为求函数的最值问题，注意函数最值与极值的区别与联系
2x_1
1.（2016高考山东理数）已知f（x）=ax-Inx2,a•二R.
x
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）略
【解析】<
I）的定义域为（0,+咖金“.+扌=曲-挈7）一
xe（o：
n吋，『0沁,/a）单调递増j处apjfi寸/<
对"
，/（巧单调递减
（1）,fAl，
当工芒（OR或工e（£
g时,f（x）>
0・/g单调递増j
当hw（1*J|）时，f'
W/㈤单调递威；
（2）a=2时，J|=l，在工丘〔弘+^>
内，厂S"
，单调递増*
（3）a>
23寸0<
<
1,
当xe（0,^|）或丈EQ+眄时，/^）>
07/（工》单调递増；
当工启（£
」》时，rrw«
>
/CO单调递减
综上所述，
当。
兰0时，函数/<
力在（OR内单调進増』在①十坊内单调递减丿
当0SC2时，/G在®
D内单调递増，在（h£
）內电调递减，在（£
汁”）內里调递増$
当a=2时，/⑴在（0,皿〉内单调递増；
当S/㈤在（Q朽內单调递増，在内单调递爲在0,-kx）｝內单调递増一
考点：
应用导数研究函数的单调性
【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性、分类讨论思想
解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、
不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、
基本计算能力、分类讨论思想等•
2.（2016高考天津理数）设函数f（x）=（x-I,_ax_b,x壬R，其中a,beR
（I）求f（x）的单调区间；
（II）略；
（川）略.
【答案】
（I）当a乞0时，单调递增区间为（-：
，•：
）；
当a0时，单调递减区间为
（1一』」.』），单调递增区间为（一一少）,（1•』「：
3333
【解析】
（I）解：
由f（x）=（x-1）3-ax-b，可得f'
（x）=3（x-1）2-a.
下面分两种情况讨论：
<
D当*0时，恒成立，所以/⑴的单调递増区间为（卫出町一
2）当口A0时，令/丫工）=0,解得兀=1十晋，或工=1一学•
当兀变化时，/'
W,『（力的变化情况如下表：
X
gi-丁〉
1「民
3
1+辰
r氐.
（1+__-KD）
/'
{X）
+
—
/（X）
单调递増
极大值
单调递减
极小值
所以
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