高考数学理科新课标版配套教师文档专题14圆锥曲线与方程Word文档格式.docx

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0），与椭圆方程＋y2＝1联立得方程组，消掉x2得9y2＋12y＋r2－46＝0.

令Δ＝122－4×

9（r2－46）＝0，解得r2＝50，即r＝5.

由题意易知P，Q两点间的最大距离为r＋＝6，故选D.

方法二：

如图所示，设Q（cosθ，sinθ），圆心为M，由已知得M（0，6），则

|MQ|＝

＝

＝≤5，

故|PQ|max＝5＋＝6.

3．（2013·

大纲全国，8，中）椭圆C：

＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（　　）

3．B　设P（x0，y0），则有＋＝1，即4－x＝y.①

由题意知A1（－2，0），A2（2，0），设直线PA1的斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，则k1＝，k2＝，

所以k1·

k2＝.②

由①②得k1·

k2＝－.

因为k2∈[－2，－1]，

所以k1的取值范围为，故选B.

4．（2014·

江西，15，易）过点M（1，1）作斜率为－的直线与椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．

4．[考向3]【解析】　设A（x1，y1），B（x2，y2），分别代入椭圆方程相减得＋＝0，根据题意有x1＋x2＝2×

1＝2，y1＋y2＝2×

1＝2，且＝－，所以＋×

＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2（a2－c2），整理得a2＝2c2，得＝，所以e＝.

【答案】　

5．（2013·

辽宁，15，中）已知椭圆C：

0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________.

5．[考向1，3]【解析】　设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，设|BF|＝x，则由余弦定理可得cos∠ABF＝＝.

解得x＝8，故∠AFB＝90°

.由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|＝8，且∠FAF1＝90°

，即△FAF1是直角三角形，|FF1|＝10，故2a＝8＋6＝14，2c＝10，e＝＝.

6．（2016·

四川，20，13分，难）已知椭圆E：

0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：

y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.

（1）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（2）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：

存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·

|PB|，并求λ的值．

6．[考向2]解：

（1）由已知，a＝b，则椭圆E的方程为＋＝1，

由方程组得

3x2－12x＋（18－2b2）＝0.①

方程①的判别式为Δ＝24（b2－3），

由Δ＝0，得b2＝3，

此时方程①的解为x＝2，

所以椭圆E的方程为＋＝1.

点T坐标为（2，1）．

（2）证明：

由已知可设直线l′的方程为

y＝x＋m（m≠0），

由方程组可得

所以P点坐标为，|PT|2＝m2.

设点A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），

由方程组

可得3x2＋4mx＋（4m2－12）＝0.②

方程②的判别式为Δ＝16（9－2m2），

由Δ>

0，解得－<

m<

.

由②得x1＋x2＝－，x1x2＝.

所以|PA|＝

＝，

同理|PB|＝，

所以|PA|·

|PB|

＝＋x1x2|

＝＋|

＝m2.

故存在常数λ＝，使得|PT|2＝λ|PA|·

|PB|.

7．（2015·

福建，18，13分，中）已知椭圆E：

＋＝1（a＞b＞0）过点（0，），且离心率e＝.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线l：

x＝my－1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．

7．[考向2]解：

（1）由已知得，

解得

（2）方法一：

设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为H（x0，y0）．

由

得（m2＋2）y2－2my－3＝0，

所以y1＋y2＝，y1y2＝－，

从而y0＝.

所以|GH|2＝＋y

＝＋y

＝（m2＋1）y＋my0＋.

因为＝

＝（1＋m2）（y－y1y2），

故|GH|2－

＝my0＋（1＋m2）y1y2＋

＝－＋

＝＞0，

所以|GH|＞.

故点G在以AB为直径的圆外．

设点A（x1，y1），B（x2，y2），则＝，＝.

由得（m2＋2）y2－2my－3＝0，

从而·

＝＋y1y2

＝（m2＋1）y1y2＋m（y1＋y2）＋

＝＋＋

所以cos〈，〉＞0.

又，不共线，所以∠AGB为锐角，

8．（2015·

安徽，20，13分，中）设椭圆E的方程为＋＝1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.

（1）求E的离心率e；

（2）设点C的坐标为（0，－b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．

8．[考向2，3]解：

（1）由题设条件知，点M的坐标为，

又kOM＝，从而＝.

进而得a＝b，c＝＝2b.

故e＝＝.

（2）由题设条件和

（1）的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.

设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNS·

kAB＝－1，从而有

解得b＝3.所以a＝3，

故椭圆E的方程为＋＝1.

9．（2014·

课标Ⅱ，20，12分，中）设F1，F2分别是椭圆C：

0）的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；

（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.

9．[考向1，3]解：

（1）根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.

将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，

解得＝，＝－2（舍去）．

故C的离心率为.

（2）由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，

故＝4，即b2＝4a.①

由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.

设N（x1，y1），由题意知y1<

0，则

即

代入C的方程，得＋＝1.②

将①及c＝代入②得

＋＝1.

解得a＝7，b2＝4a＝28，

故a＝7，b＝2.

高考中对椭圆定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是椭圆时，椭圆上的点M满足定义，即|MF1|＋|MF2|＝2a（2a＞|F1F2|）；

二是利用动点满足的几何条件符合椭圆的定义，从而得到动点的转迹是椭圆．

1

（1）（2016·

河南郑州一模，9）如图，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，若tan∠ADP＋2tan∠BCP＝10，则点P在平面α内的轨迹是（　　）

A．圆的一部分　　　　　　　　　　　　B．椭圆的一部分

C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分

（2）（2014·

辽宁，15）已知椭圆C：

＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.

【解析】　

（1）由题意可得＋2＝10，则|PA|＋|PB|＝40＞|AB|＝6，又因为P，A，B三点不共线，故点P的转迹是以A，B为焦点的椭圆的一部分．

（2）椭圆＋＝1中，a＝3.

如图，设MN的中点为D，则|DF1|＋|DF2|＝2a＝6.

∵D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，

∴|BN|＝2|DF2|，|AN|＝2|DF1|，

∴|AN|＋|BN|＝2（|DF1|＋|DF2|）＝12.

【答案】　

（1）B　

（2）12

（1）要求动点P在平面α内的轨迹，首先要求出动点P所满足的几何条件，然后判断轨迹类型．题目中给出的条件为tan∠ADP＋2tan∠BCP＝10，利用三角函数的定义不难得到点P满足的条件，再根据圆或圆锥曲线的定义判断即可；

（2）题目中涉及点与点的对称，即中点问题，而中点问题通常用中位线解决，因此本题就需要构建三角形的中位线，利用中位线的性质进行求解，当然也要利用椭圆的定义．

椭圆定义应用的类型及方法

（1）利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆．

（2）利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值．利用定义和余弦定理可求得|PF1|·

|PF2|，再结合|PF1|2＋|PF2|2＝（|PF1|＋|PF2|）2－2|PF1|·

|PF2|进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积．

（2012·

四川，15）椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．

【解析】　如图所示，

设椭圆右焦点为F′，直线x＝m与x轴相交于点C.由椭圆的定义，得|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a＝4.

而|AB|＝|AC|＋|BC|≤|AF′|＋|BF′|，

所以当且仅当AB过点F′时，△FAB的周长最大．

此时，由c＝1，得A，B，即|AB|＝3.

所以S△FAB＝|AB||FF′|＝3.

【答案】　3,

高考对椭圆的标准方程的考查形式有两种，一是根据题设条件求椭圆的标准方程，二是通过椭圆的标准方程研究椭圆的性质，常以选择题或填空题的形式出现，有时也出现在解答题第一问中，难度中等．

2

（1）（2014·

大纲全国，6）已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左，右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为（　　）

A.＋＝1B.＋y2＝1

C.＋＝1D.＋＝1

安徽，14）设F1，F2分别是椭圆E：

x2＋＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．

【解析】　

（1）由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，

∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1.

（2）不妨设点A在第一象限，如图所示．

∵AF2⊥x轴，∴A（c，b2）（其中c2＝1－b2，0<

b<

1，c>

0）．

又∵|AF1|＝3|F1B|，∴由＝3得B，代入x2＋＝1得＋＝1，又c2＝1－b2，∴b2＝.

故椭圆E的方程为x2＋y2＝1.

【答案】　

（1）A　

（2）x2＋