学年新教材高中数学第5章三角函数51任意角和弧度制511任意角教学案新人教A版必修第一册Word文件下载.docx
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坐标轴上，则认为这个角不属于任何一个象限．
四 终边相同的角
设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝
α＋k·
360°
，k∈Z}．
【新知拓展】
对终边相同的角的理解
（1）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
（2）k∈Z，即k为整数，这一条件不可少；
（3）终边相同的角的表示不唯一．
1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．（ ）
（2）锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．（ ）
（3）象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．（ ）
答案
（1）×
（2）√ （3）×
2．做一做
（1）与600°
角终边相同的角可表示为（ ）
A．k·
＋220°
（k∈Z）
B．k·
＋240°
C．k·
＋60°
D．k·
＋260°
（2）若角α与角β终边相同，则α－β＝________.
答案
（1）B
（2）k·
，k∈Z
题型一正确理解角的概念
例1 下列命题正确的是（ ）
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．在90°
≤β<
180°
范围内的角β不一定是钝角
D．小于90°
的角是锐角
[解析] 终边与始边重合的角还可能是360°
，720°
，…，A错误；
终边和始边都相同的两个角可能相差360°
的整数倍，如30°
与－330°
，B错误；
由于在90°
范围内的角β包含90°
角，所以不一定是钝角，C正确；
小于90°
的角可以是0°
，也可以是负角，D错误．故选C．
[答案] C
金版点睛
理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
（1）经过2个小时，钟表上的时针旋转了（ ）
A．60°
B．－60°
C．30°
D．－30°
（2）射线OA绕端点O顺时针旋转90°
到OB位置，接着逆时针旋转100°
到OC位置，然后再顺时针旋转240°
到OD位置，求∠AOD的大小．
答案
（1）B
（2）见解析
解析
（1）钟表的时针旋转一周是－360°
，其中每小时旋转－
＝－30°
，所以经过2个小时应旋转－60°
.故选B．
（2）如图，∠AOB＝90°
，∠BOC＝100°
，∠COD＝360°
－240°
＝120°
，∠AOD＝∠BOC－∠AOB＋∠COD＝100°
－90°
＋120°
＝130°
.
题型二终边相同的角的表示
例2
（1）写出与α＝－1910°
终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°
的元素β写出来；
（2）分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
[解]
（1）与角α＝－1910°
终边相同的角的集合为{β|β＝－1910°
＋k·
∵－720°
，
∴－720°
≤－1910°
<
，3
≤k<
6
故k＝4,5,6，
k＝4时，β＝－1910°
＋4×
＝－470°
k＝5时，β＝－1910°
＋5×
＝－110°
k＝6时，β＝－1910°
＋6×
＝250°
（2）①{β|β＝k·
②{β|β＝135°
[变式探究] 在与角1030°
终边相同的角中，求满足下列条件的角．
（1）最小的正角；
（2）最大的负角．
解 1030°
÷
＝2……310°
所以1030°
＝2×
＋310°
所以与角1030°
终边相同的角的集合为{α|α＝k·
（1）所求的最小正角为310°
（2）取k＝－1得所求的最大负角为－50°
在0°
～360°
范围内找与给定角终边相同的角的方法
（1）把任意角化为α＋k·
（k∈Z且0°
≤α<
）的形式，关键是确定k.可以用观察法（α的绝对值较小），也可用除法．
（2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
已知－990°
α<
－630°
，且α与120°
角的终边相同，则α＝________.
答案 －960°
解析 ∵α与120°
角终边相同，故有α＝k·
，k∈Z.又∵－990°
k·
，即－1110°
－750°
，解得－3
k<
－2
，又k∈Z，故k＝－3，α＝（－3）·
＝－960°
题型三象限角的判定
例3
（1）已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①－75°
；
②855°
③－510°
（2）若α是第二象限角，则2α，
分别是第几象限的角？
[解]
（1）作出各角，其对应的终边如图所示：
①由图a可知：
－75°
是第四象限角．
②由图b可知：
855°
是第二象限角．
③由图c可知：
－510°
是第三象限角．
（2）①∵α是第二象限角，
∴90°
（k∈Z），
∴180°
720°
2α<
∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上．
②∵α是第二象限角，
∴45°
90°
（k∈Z）．
解法一：
A．当k＝2n（n∈Z）时，
45°
＋n·
（n∈Z），即
是第一象限角；
b．当k＝2n＋1（n∈Z）时，
225°
270°
（n∈Z），
即
是第三象限角．故
是第一或第三象限角．
解法二：
∵45°
表示终边为一、三象限角平分线的角，90°
（k∈Z）表示终边为y轴的角，
（k∈Z）表示如图中阴影部分图形．即
象限角的判定方法
（1）根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°
之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．
（2）将角转化到0°
范围内．在直角坐标平面内，在0°
范围内没有两个角终边是相同的．
（3）nα所在象限的判断方法
确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．
（4）
所在象限的判断方法
已知角α所在象限，要确定角
所在象限，有两种方法：
①用不等式表示出角
的范围，然后对k的取值分情况讨论：
被n整除；
被n除余1；
被n除余2；
…；
被n除余n－1.从而得出结论．
②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是
的终边所落在的区域．如此，
所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．
（1）若α为第三象限角，试判断90°
－α的终边所在的象限；
（2）若α为第四象限角，试判断
的终边所在的象限．
解
（1）因为α为第三象限角，
所以180°
，k∈Z，
则－180°
－k·
－α<
所以90°
－α的终边在第三象限．
（2）由于α为第四象限角，
即α∈（k·
，k·
）（k∈Z），
所以
∈（k·
－45°
）（k∈Z）．
当k＝2n，n∈Z时，
∈（n·
，n·
）（n∈Z），
是第四象限角；
当k＝2n＋1，n∈Z时，
＋135°
＋180°
综上，可知
的终边所在的象限是第二或第四象限．
题型四区域角的表示
例4 写出终边落在阴影部分的角的集合．
[解] 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①{α|k·
＋30°
＋105°
②{α|k·
＋210°
＋285°
∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·
，k∈Z}∪{α|k·
，k∈Z}＝{α|2k·
2k·
，k∈Z}∪{α|（2k＋1）·
（2k＋1）·
或（2k＋1）·
，k∈Z}＝{α|k·
[条件探究] 将本例改为下图，写出角的终边在图中阴影区域的角的集合（包括边界）．
解
（1）{α|45°
≤α≤90°
，k∈Z}∪{α|225°
≤α≤270°
，k∈Z}＝{α|45°
（2）先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|－150°
≤α≤150°
区域角的写法可分三步
（1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
（2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；
（3）用不等式表示区域内的角，组成集合．
写出终边落在图中阴影区域内（不包括边界）的角的集合．
解
（1）先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|k·
360°
＋300°
（2）{α|k·
－60°
＋45°
＋225°
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