数学分析教材习题全解复旦版数学分析教材习题Word格式文档下载.docx

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u,eu,x

z1y（13）;

（14）;

u,xu,222x，y，z

nn

u,axy,a,a（15），为常数;

（16）为常数。

uax,a,ijijijji,iiii,j,1i,1

z,z54432解

（1），,6y,12xy。

5x,24xy,y,x

32,z2x,z2xy22

（2），。

,2xln（x，y），2222,y,xx，yx，y

z1,zx,y，,x,（3），。

2,y,xyy

z,z,,（4），,xcos（xy）,sin（2xy）。

y,,cos（xy）,sin（2xy）,y,x

z,zxx,e（xcosy,siny）（5），。

e（cosy，xsiny，siny）,y,x

222,,,,,zxx,zxx222,,,,,sec,,sec（6），。

2,,,,,xyy,yyy,,,,

z1xyyxyzxxy,1xy,,coscos,coscossinsin,sinsin（7），，。

22yyx,,xyyxyxxyxyx

1

，，,zxy,z2y,1y（8），

（1）ln

（1）。

y（1，xy）,，xy，xy，,,1,x,y，xy，，

z1,z1,,（9），。

yy（x，lny）,xx，lny

z1,z1zxy,，arctanarctan（10）注意，,，,。

22,y,x1，y1，x

222222,u,u222x（x，y，z）x（x，y，z）2xy（11），，,ee,（3x，y，z）,y,x

222,ux（x，y，z）2xz。

e,,z

yyy,1,uy,uyx,ulnxlnzzz（12），,，。

x,xx,2,y,zz,xzz

yz,ux,u,u,,,,（13），,，。

333,y,x,z222222222222，，，，，，x，y，zx，y，zx，y，z

zzz,u,u,uz,1yzyzy,1zyxlnxyxlnxlny（14），,，。

yx,,y,z,x

u,a,i,1,2,？

n（15）。

i,xi

nn,u,u,ay,i,1,2,？

n（16），。

ax,j,1,2,？

n,,ijjiji,x,y,1j,1iij

22f（x,y）,x，y,x，y2.设，求及。

f（3,4）f（3,4）yx

xy解因为，所以1,1ff,,,,xy2222xyxy，，

21（3,4）,（3,4）,，。

ffxy55x2,z,zyz,e2x，y,03.设，验证。

x,y

xx22,,zzx12yy证由于，所以,,,e,e23,,xyyy

z,z2x，y,0。

2

22,x，y,z,,（2,4,5）4.曲线在点处的切线与轴的正向所夹的角度是x,4,y,4,

多少,

dxdydz（,,）（1,0,1）,（2,4,5）解以x为参数，曲线在点处的切向量为，dxdxdxx,2

设它与轴的正向所夹的角度为,，则x

（1,0,1）1，,,,,cos（1,0,0）

22

所以。

,4

5.求下列函数在指定点的全微分:

22（1,2）

（1），在点;

f（x,y）,3xy,xy

22（2,4），在点;

（2）f（x,y）,ln（1，x，y）

sinx,,,（0,1）（3），在点和。

2f（x,y）,,,24y,,

22解

（1）因为，所以dfxyxyydxxxydy（,）（6）（32）,,，,

df（1,2）,8dx,dy。

22xy

（2）因为，所以dfxydxdy（,）,，222211，，，，xyxy

48。

df（2,4）,dx，dy2121

cos2sinxx（3）因为，所以dfxydxdy（,）,,23yy

22df（0,1）,dxdf（,2）,dx,dy,。

4886.求下列函数的全微分:

xxy

（1）;

z,xyez,y

x，yyz,（3）;

（4）z,;

22x,yx，y

222222u,x，y，z（5）;

（6）。

u,ln（x，y，z）

xx,1解

（1）。

dz,ylnydx，xydy

xy

（2）。

dz,e（1，xy）（ydx，xdy）

3

22yx,,，dzdxdy（3）。

22（,）（,）xyxy

2xxy,,dy，（4）。

dzdx33222222xy（，）（，）xy

xdx，ydy，zdzdu,（5）。

222x，y，z

2（xdx，ydy，zdz）（6）du,。

2yz,xeP（1,0）P（1,0）Q（2,,1）7.求函数在点处的沿从点到点方向的方

向导数。

,,,

PQ（2,1）（1,0）1,,解由于，且v,,,,,（1,1）（,）vv12|||（2,1）（1,0）|PQ,,2

,zz22yye,2e，,,x,,xy

所以

,,zzz1。

，,,vv12v,,,xy2

22（1,1）v,（cos,,sin,）8.设，求它在点处的沿方向的方向z,x,xy，y

导数，并指出:

（1）沿哪个方向的方向导数最大,

（2）沿哪个方向的方向导数最小,

（3）沿哪个方向的方向导数为零,解由于

zzz,,,cossin

（2）cos

（2）sin,,,,xyyx，,，,,，,vxy,,,

z,,,,,cossin,,,,，,,sin（）sin2sincos（）,，,,,（1,1）244,v

,,v,（cos

（1）当时，沿，方向导数最大。

,sin）,444

4

555,,,v,（cos

（2）当时，沿，方向导数最小。

337737,,,,,,时，沿v,（cos或v,（cos，方向（3）当,,sin）,sin）,,444444

导数为零。

f（x,y）（1,2）（1,2）（2,2）9（如果可微函数在点处的从点到点方向的方向

（1,1）（1,2）导数为2，从点到点方向的方向导数为-2。

求

（1,2）

（1）这个函数在点处的梯度;

（1,2）（1,2）（4,6）

（2）点处的从点到点方向的方向导数。

,,,zzzz（2,2）（1,2）（1,0）,,,,，,,,102解，。

v=1,,,,vxyx1

,,,zzzz（1,1）（1,2）（0,1）,,,,,，,,,,,,0

（1）2，。

v=2,,,,vxyy2

（1,2）所以在处，

,zz。

,2,,xy

gradf（1,2）,（2,2）

（1）。

（3,4）（3,4）（4,6）（1,2）（3,4）,,v,,

（2）因为，，所以22534，

f3414。

,，,,22（1,2）,v555

10.求下列函数的梯度:

22,,xy22,,z,1,，

（1）;

z,x，ysin（xy）22,,ab,,

222（1,1,1）（3），在点。

u,x，2y，3z，3xy，4yz，6x,2y,5z

32解

（1）。

gradz,（2x，ycos（xy）,2ysin（xy），xycos（xy））

xy22z,,,

（2）grad（,）。

22ab

grad（236,4342,645）uxyyxzzy,，，，，,，,gradu（1,1,1）,（11,9,5）（3），。

f（x,y）,xy11.对于函数，在第Ι象限（包括边界）的每一点，指出

函数值增加最快的方向。

5

（x,y）,（0,0）gradf,（y,x）解在点,函数值增长最快的方向为;

（0,0）在点,由于梯度为零向量，不能直接从梯度得出函数值增长

v,（cos,,sin,）最快的方向。

设沿方向自变量的改变量为

,,,xtytcos,sin,,，

则函数值的改变量为

122，,,,,,,,,,,,fxyfxytt（,）（0,0）cossinsin22

,3由此可知当时函数值增长最快，即函数值增长最快的方向为,,,44

（1,1）（,1,,1）和。

12（验证函数

3f（x,y）,xy

（0,0）i,1,2在原点连续且可偏导，但除方向和（）外，在e,eii

原点的沿其它方向的方向导数都不存在。

3解，lim（,）lim0（0,0）fxyxyf,,,xyxy,,（,）（0,0）（,）（0,0）

3300,,,y,,,x00f（0,0）lim0,,，，f（0,0）lim0,,xy,,x0,,y0,x,y

（0,0）v,（cos,,sin,）所以函数在原点连续且可偏导。

取方向，则

，，,ffttf（0cos,0sin）（0,0）,,,limt,，0,vt

33ttcossin,,,sin2,,lim，,lim3t,，0t,，0tt2

kk,,sin20,,sin20,,当，即时，极限存在且为零;

当，即时，,,,,22

i,1,2极限不存在。

所以除方向和（）外，在原点的沿其它方向e,eii

的方向导数都不存在。

13.验证函数

xy,22,x，y,0,,22f（x,y）,x，y,

22,0,x，y,0,

6

（0,0）在原点连续且可偏导，但它在该点不可微。

解由于

xy22，,，,,xyxy0（（,）（0,0））22xy，

xy。

lim0（0,0）,,lim（,）fxy,f22（,）（0,0）xy,（,）（0,0）xy,，xy由定义，

0,,y,,x0,0,0220，,y,，x0f（0,0）lim0,,，。

f（0,0）lim0,,xy,,x0,,y0,x,y

（0,0）所以函数在原点连续且可偏导。

但

fxyffxfy（0,0）（0,0）[（0,0）（0,0）]，,，,,,,，,xy

,xy22fxy（,）,,,,,，,oxy（）=，22,，,xy

（0,0）所以函数在不可微。

14.验证函数

1,2222xyxy（，）sin,，,0,,22f（x,y）,xy，,22,xy0,，,0,

（0,0）的偏导函数在原点不连续，但它在该点可微。

f（x,y）,f（x,y）xy

解由定义，

122,，,x（0）sin022,，x0，f,,（0,0）lim0x,,x0,x

（,）（0,0）xy,当时，

121x22。

fxyxxy（,）2sincos,0,,，,x222222xyxyxy，，，

由于

7

111，lim（,）limfxy,（2sincos）x,x22,,00xx222xxx,xy

（0,0）（0,0）极限不存在，所以在原点不连续。

同理在原点fxy（,）fxy（,）yx

也不连续。

但由于

12222,,，,oxy（）=，（）sinxy，22xy，

（0,0）所以函数在可微。

15.证明函数

2,xy222xy,，,0,,24fxy（,）,xy，,22,xy0,，,0,

（0,0）在原点处沿各个方向的方向导数都存在，