黄冈中学新课标初中数学二次函数知识点总结Word格式.docx
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②
③
④
⑤
6.抛物线的三要素:
开口方向、对称轴、顶点.
①
的符号决定抛物线的开口方向:
当
时,开口向上;
时,开口向下;
相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于
轴(或重合)的直线记作
.特别地,
轴记作直线
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数
相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法:
,∴顶点是
,对称轴是直线
(2)配方法:
运用配方的方法,将抛物线的解析式化为
的形式,得到顶点为(
),对称轴是直线
(3)运用抛物线的对称性:
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
9.抛物线
中,
的作用
(1)
决定开口方向及开口大小,这与
中的
完全一样.
(2)
和
共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线
的对称轴是直线
,故:
时,对称轴为
轴;
(即
、
同号)时,对称轴在
轴左侧;
异号)时,对称轴在
轴右侧.
(3)
的大小决定抛物线
与
轴交点的位置.
当
时,
,∴抛物线
轴有且只有一个交点(0,
):
,抛物线经过原点;
②
与
轴交于正半轴;
轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在
轴右侧,则
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
开口向上
开口向下
(
轴)
(0,0)
(0,
)
0)
11.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:
.已知图像上三点或三对
的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:
.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
(3)交点式:
已知图像与
轴的交点坐标
,通常选用交点式:
12.直线与抛物线的交点
轴与抛物线
得交点为(0,
).
(2)与
轴平行的直线
与抛物线
有且只有一个交点(
(3)抛物线与
轴的交点
二次函数
轴的两个交点的横坐标
,是对应一元二次方程
的两个实数根.抛物线与
轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点
抛物线与
轴相交;
②有一个交点(顶点在
轴上)
轴相切;
③没有交点
轴相离.
(4)平行于
轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为
,则横坐标是
的两个实数根.
(5)一次函数
的图像
与二次函数
的交点,由方程组
的解的数目来确定:
①方程组有两组不同的解时
有两个交点;
②方程组只有一组解时
只有一个交点;
③方程组无解时
没有交点.
(6)抛物线与
轴两交点之间的距离:
若抛物线
轴两交点为
,由于
是方程
的两个根,故
一次函数与反比例函数
考点一、平面直角坐标系(3分)
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。
其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;
铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;
两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;
建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:
x轴和y轴上的点,不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对,当
时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征(3分)
1、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
点P(x,y)在第二象限
点P(x,y)在第三象限
点P(x,y)在第四象限
2、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上
,x为任意实数
点P(x,y)在y轴上
,y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上
x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上
x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上
x与y互为相反数
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称
横坐标相等,纵坐标互为相反数
点P与点p’关于y轴对称
纵坐标相等,横坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称
横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
(1)点P(x,y)到x轴的距离等于
(2)点P(x,y)到y轴的距离等于
(3)点P(x,y)到原点的距离等于
考点三、函数及其相关概念(3~8分)
1、变量与常量
在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。
一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
(1)解析法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。
(2)列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
(3)图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
(1)列表:
列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点:
以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点
(3)连线:
按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
考点四、正比例函数和一次函数(3~10分)
1、正比例函数和一次函数的概念
(k,b是常数,k
0),那么y叫做x的一次函数。
特别地,当一次函数
中的b为0时,
(k为常数,k
0)。
这时,y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
一次函数
的图像是经过点(0,b)的直线;
正比例函数
的图像是经过原点(0,0)的直线。
k的符号
b的符号
函数图像
图像特征
k>
b>
y
0x
图像经过一、二、三象限,y随x的增大而增大。
b<
图像经过一、三、四象限,y随x的增大而增大。
K<
图像经过一、二、四象限,y随x的增大而减小
图像经过二、三、四象限,y随x的增大而减小。
注:
当b=0时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质,,一般地,正比例函数
有下列性质:
(1)当k>
0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
(2)当k<
0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质,,一般地,一次函数
0时,y随x的增大而增大
0时,y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式
(k
0)中的常数k。
确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式
0)中的常数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法。
考点五、反比例函数(3~10分)
1、反比例函数的概念
一般地,函数
(k是常数,k
0)叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成
的形式。
自变量x的取值范围是x
0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x
0,函数y
0,所以,它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质
反比例函数
k<
图像
Ox
性质
①x的取值范围是x
0,
y的取值范围是y
0;
②当k>
0时,函数图像的两个分支分别
在第一、三象限。
在每个象限内,y
随x的增大而减小。
②当k<
在第二、四象限。
随x的增大而增大。
4、反比例函数解析式的确定
确定及诶是的方法仍是待定系数法。
由于在反比例函数
中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
如下图,过反比例函数
图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM,PN,则所得的矩形PMON的面积S=PM
PN=
。
二次函数
考点一、二次函数的概念和图像(3~8分)
1、二次函数的概念
,那么y叫做x的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于
对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征:
①有开口方向;
②有对称轴;
③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法:
(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴
(2)求抛物线
与坐标轴的交点:
当抛物线与x轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。
由C