实际问题与二元一次方程组题型归纳Word格式文档下载.docx
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（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
（4）列方程组解应用题应注意的问题
1弄清各种题型中基本量之间的关系；
②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；
③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；
④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；
⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；
⑥列方程组解应用题一定要注意检验。
知识点三：
列方程组解应用题中常用的基本等量关系
类型一：
列二元一次方程组解决——行程问题
（1）追击问题：
追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。
这类问题比较直观，
画线段,用图便于理解与分析。
其等量关系式是:
两者的行程差＝开始时两者相距的路程；
；
（2）相遇问题:
相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。
这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。
这类问题的等量关系是：
双方所走的路程之和＝总路程。
（3）航行问题：
①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；
2船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；
3顺水速度－逆水速度＝2×
水速。
注意：
飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
例1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分
相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发
半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
思路点拨：
画直线型示意图理解题意：
（1）这里有两个未知数：
①汽车的行程；
②拖拉机的行程
（2）有两个等量关系：
1相向而行：
汽车行驶小时的路程＋拖拉机行驶小时的路程＝160千米;
2
答：
汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.
总结升华：
根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。
【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发
2.5小时后相遇；
如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？
【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
类型二：
列二元一次方程组解决——工程问题
工程问题：
工作效率×
工作时间=工作量.
例2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共
3520元；
若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？
（2）已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？
本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：
若请甲、乙两个装修组同时施
工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；
第二层含义：
若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元。
设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.
解：
（1）设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，依题意得：
解得
甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元。
（2）单独请甲组做，需付款300×
12＝3600元，单独请乙组做，需付款24×
140＝3360元，故请乙组单独做费用最少。
请乙组单独做费用最少。
工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；
工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。
【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；
若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？
请你说明理由.
类型三：
列二元一次方程组解决——商品销售利润问题
（1）利润＝售价－成本（进价）；
（2）；
（3）利润＝成本（进价）×
利润
率；
定价＝成本（进价）×
（1＋利润率）；
（5）实际售价＝标价×
打折率；
“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；
为负时，就是亏损。
打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。
（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）例3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。
价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？
思路点拨：
做此题的关键要知道：
利润＝进价×
利润率
甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意得：
，解得：
两件商品的进价分别为600元和400元。
【变式1】
（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000
元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A
B
进价（元/件）
1200
1000
售价（元/件）
1380
（4）（注：
获利=售价—进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；
类型四：
列二元一次方程组解决——银行储蓄问题
（1）基本概念
①本金：
顾客存入银行的钱叫做本金。
②利息：
银行付给顾客的酬金叫做利息。
③本息和：
本金与利息的和叫做本息和。
④期数：
存入银行的时间叫做期数。
⑤利率：
每个期数内的利息与本金的比叫做利率。
⑥利息税：
利息的税款叫做利息税。
（2）基本关系式
①利息＝本金×
利率×
期数
3本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×
期数＝本金×
（1＋利率×
期数）
4利息税＝利息×
利息税率＝本金×
期数×
利息税率。
5税后利息＝利息×
（1－利息税率）⑤年利率＝月利率×
12⑥
免税利息=利息
例4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？
（利息所得税＝利息金额×
20%，教育储蓄没有利息所得税）
设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：
设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程：
，解得：
存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.
总结升华:
我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.
【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？
（注：
公民应缴利息所得税=利息金额×
20%）
4000元钱.
变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；
第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元（不计
利息税），问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？
类型五：
列二元一次方程组解决——生产中的配套问题解这类问题的基本等量关系是：
总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。
例5．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖
5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
本题的第一个相等关系比较容易得出：
衣身、衣袖所用布料的和为132米；
第二个
相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍（注意：
别
把2倍的关系写反了）.
设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：
用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.总结升华：
生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.
【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配
成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。
【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌
腿300条。
现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出
的桌面和桌腿，恰好配成方桌？
能配多少张方桌？
类型六：
列二元一次方程组解决——增长率问题
解这类问题的基本等量关系式是：
原量×
（1＋增长率）＝增长后的量；
（
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