高三数学解三角形一轮复习1Word文档下载推荐.docx

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例1.在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°

，求角A、C及边c．

解A1＝60°

C1＝75°

c1＝

A2＝120°

C2＝15°

c2＝

变式训练1：

（1）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（）

A．B．C．D．

解：

B提示：

利用余弦定理

（2）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）

A.B.

C.D.

C提示：

在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；

若已知大角求小角，则只有一解

（3）在△ABC中，已知，，则的值为（）

ABC或D

A提示:

在△ABC中，由知角B为锐角

（4）若钝角三角形三边长为、、，则的取值范围是．

提示：

由可得

（5）在△ABC中，=．

提示：

由面积公式可求得，由余弦定理可求得

例2.在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．

sinA＝2sinBcosC

sin（B＋C）＝2sinBcosC

sin（B－C）＝0B＝C

sin2A＝sin2B＋sin2Ca2＝b2＋c2

∠A＝90°

∴△ABC是等腰直角三角形。

变式训练2：

在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状.

应用正弦定理、余弦定理，可得

a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.

例3.已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C．

由sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin（A＋B）＝0，

所以sinB（sinA－cosA）＝0

∵B∈（0,π）,∴sinB≠0,∴cosA＝sinA，由A∈（0,π），知A＝从而B＋C＝，由sinB＋cos2C＝0得sinB＋cos2（－B）＝0

cos＝（－2B）＝cos[2π－（＋2B）]＝cos（＋2B）＝－sin2B

得sinB－sin2B＝0，亦即sinB－2sinBcosB＝0，由此各cosB＝，B＝，C＝

∴A＝B＝C＝

变式训练3：

已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为.

（1）求∠C；

（2）求△ABC面积的最大值.

（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）·

sinB得

2（－）=（a－b）.

又∵R=，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC==.

又∵0°

＜C＜180°

，∴C=60°

.

（2）S=absinC=×

ab=2sinAsinB=2sinAsin（120°

－A）

=2sinA（sin120°

cosA－cos120°

sinA）=3sinAcosA+sin2A

=sin2A－cos2A+=sin（2A－30°

）+.

∴当2A=120°

，即A=60°

时，Smax=.

例4.如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G．设∠MGA＝（）．

（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数；

（2）求y＝的最大值与最小值．

解

（1）AG＝，∠

由正弦定理得，

，

（2）

∵∴当

当

变式训练4：

在在△ABC中，所对的边分别为，，且

（1）求的值；

（2）若，求的最大值；

（1）因为，故

（2）

又，当且仅当时，

故的最大值是

小结归纳

1．已知两边和其中一边的对角求其他的边和角，这种题型可能无解、一解、两解等，要特别注意．

2．三角形中含边角的恒等变形问题，通常是运用正弦定理或余弦定理，要么将其变为含边的代数式做下去，要么将其变为含角的三角式做下去，请合理选择．

3．对于与测量和与几何计算有关的实际问题，可以考虑转化为解三角形的问题

第2课时应用性问题

1．三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）；

２．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：

测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；

３．实际问题中有关术语、名称．

（1）仰角和俯角：

在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；

在水平视线下方的角叫俯角

（2）方位角：

指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．

例1．

（1）某人朝正东方走km后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好km，那么等于（）

（A）（B）（C）或（D）3

（2）甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则甲、乙两楼的高分别是（）

AB

CD

A

（3）一只汽球在的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为，汽球向前飞行了后，又测得A点处的俯角为，则山的高度为（）

ABCD

B

（4）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A向北偏东方向，B向西偏北方向，若A的航行速度为25nmi/h，B的速度是A的，过三小时后，A、B的距离是．

90.8nmi

（5）货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行，

航向为方位角，A处有灯塔，

其方位角，在C处观测灯塔A的

方位角，由B到C需航行半小时，

则C到灯塔A的距离是

km提示：

由题意知，利用余弦定理或解直角三角形可得

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？

连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×

20×

10×

cos120°

=700.

于是,BC=10.

∵,∴sin∠ACB=,

∵∠ACB<

90°

∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东71°

方向沿直线前往B处救援.

例2.在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

持续多长时间？

设在时刻t（h）台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60（km）

若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则

由余弦定理知

由于PO=300,PQ=20t

故

即解得

答：

12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时．

如图所示,海岛A周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B处测得岛A在船的南偏东方向上，船航行30海里后，在C处测得岛A在船的南偏东方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？

由题意得，在△ABC中，BC=30，，

所以，由正弦定理可知：

所以，

于是A到BC所在直线的距离为

所以船继续向南航行无触礁危险。

例3.如图所示，公园内有一块边长的等边△ABC形状的三角地，

现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，

E在AC上

（1）设AD，ED，求用表示的函数关系式；

（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE的位置

应该在哪里？

如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的

位置又在哪里？

请给予证明

（1）在△ABC中，D在AB上，

S△ADE=S△ABC

，在△ADE中，由余弦定理得：

（2）令，则则

令，

则

；

有最小值，此时DE∥BC，且

有最大值，此时DE为△ABC

的边AB或AC的中线上

水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角应该是多少？

设，则，

所以

设两腰与下底之和为，

当且仅当时，上式取等号，即当时，上式取等号

，所以下角时，梯形两腰及下底之和达到最小．

例4.如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。

问：

点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？

设，在△AOB中，由余弦定理得：

于是，四边形OACB的面积为

S=S△AOB+S△ABC

因为，所以当，，即时，

四边形OACB面积最大．

如图所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东的C处，12时20分测得船在海岛北偏西的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？

轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟，

而船始终匀速前进，由此可见：

BC=4EB，设EB=，则

则BC=4，由已知得

在△AEC中，由正弦定理得：

在△ABC中，由正弦定理得：

在△ABE中，由余弦定理得：

所以船速答：

该船的速度为km/h

解三角形章节测试题

一、选择题

1．在中，，，，则的面积是（　　）

A．　　　　　B．　　　　C．　　　　D．

2．在中，若，则的值为（　　）

A．　　　　B．　　　　C．　　　D．

3．在中，若，则这个三角形中角的值是（　　）

A．或　　　B．或　　　C．或　　　D．或

4．在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（　　）

A．，，　　　　B．，，　

C．，，　　　　　D．，，　

5．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程的根，则第三边长是（　　）

6．在中，如果，那么角等于（　　）

A．　　　　　B．　　　　C．　　　D．

7．在中，若，，此三角形面积，则的值是（　　）

A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　D．

8．在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为（）

A．　　B．C．D．

9．在中，若，，，则（　　）

A．　　B．

C．　D．

10．如果满足，，