高考考前押题卷数学文试题三.docx

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高考考前押题卷数学文试题三

原创押题卷（三）

参考公式

样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝（xi－）2，其中＝i.

棱柱的体积V＝Sh，其中S是棱柱的底面积，h是高．

棱锥的体积V＝Sh，其中S是棱锥的底面积，h是高．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上）

1．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则（∁RA）∩B＝________.

{－2，－1}　[因为集合A＝{x|x＞－1}，所以∁RA＝{x|x≤－1}，

则（∁RA）∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．]

2．若i（x＋yi）＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模等于________．

5　[因为i（x＋yi）＝3＋4i，所以x＋yi＝＝＝4－3i，故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.]

3．某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为________．

【导学号：

91632084】

64　[抽样比为＝，故应抽取高二学生320×＝64（人）．]

4．如图1所示，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．

图1

1－　[设OA＝OB＝2，如图，由题意得S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC，

所以S空白＝S△OAB＝×2×2＝2.

又因为S扇形OAB＝×π×22＝π，所以S阴影＝π－2.

所以P＝＝＝1－.]

5．已知f（x）＝sin2，若a＝f（lg5），b＝f，则a，b满足的关系式为________．

a＋b＝1　[f（x）＝＝，

∴a＝＋，

b＝＋＝－.

因此，a＋b＝1.]

6．如下是一个算法的伪代码，则输出的结果是________．

5　[i＝1，S＝1时，i＝2，S＝1×2＝2；

S＝2时，i＝3，S＝2×3＝6；S＝6时，i＝4，S＝6×4＝24；

S＝24时，i＝5，S＝24×5＝120.结束循环，输出i＝5.]

7．现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10cm，最下面的三节长度之和为114cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________.

16　[设对应的数列为{an}，公差为d（d＞0）．由题意知a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，a＝a1an，由an＋an－1＋an－2＝114，得3an－1＝114，解得an－1＝38，即（a1＋5d）2＝a1（an－1＋d），即（10＋5d）2＝10（38＋d），解得d＝2，所以an－1＝a1＋（n－2）d＝38，即10＋2（n－2）＝38，解得n＝16.]

8．设α，β∈（0，π），且sin（α＋β）＝，tan＝，则cosβ的值为________．

－　[由tan＝，则tanα＝＝，

又α∈（0，π），从而sinα＝，cosα＝，

又sin（α＋β）＝，α，β∈（0，π），从而cos（α＋β）＝－，cosβ＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα＝－×＋×＝－.]

9．已知实数x，y满足不等式则的取值范围是________．

　[ω＝＝＋.

令t＝，由图可知≤t≤2，

则ω＝t2＋，t∈，

令ω′＝2t－＝0，则t＝1.

ω在t∈上为减函数，在t∈[1,2]上为增函数，

t＝1时，ω有最小值3，t＝时，ω有最大值，故t的范围为.]

10．在平面直角坐标系xOy中，双曲线E：

－＝1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，过双曲线E的右焦点F作与实轴垂直的直线交双曲线E于B，C两点，若△ABC为直角三角形，则双曲线E的离心率为________．

2　[如图，由题意得∠BAC＝90°，∠BAF＝∠FAC＝45°，从而AF＝BF.

将x＝c代入双曲线方程得yB＝，AF＝a＋c，从而＝a＋c，即b2＝a2＋ac，则c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0，从而e＝2.]

11．三棱锥SABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：

图2

①异面直线SB与AC所成的角为90°；

②直线SB⊥平面ABC；

③平面SBC⊥平面SAC；

④点C到平面SAB的距离是a.

其中正确结论的序号是________．

①②③④　[由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，①②③正确；取AB的中点E，连结CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离a，④正确．]

12．在平面直角坐标系xOy中，圆C：

x2＋y2＝4分别交x轴正半轴及y轴正半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则·的最大值为________．

4＋4　[根据题意，得M（2,0），N（0,2）．设P（2cosθ，2sinθ），则＝（2－2cosθ，－2sinθ），＝（－2cosθ，2－2sinθ），

∴·＝－4cosθ＋4cos2θ－4sinθ＋4sin2θ

＝4－4（sinθ＋cosθ）

＝4－4sin.

∵－1≤sin≤1，∴4－4≤·≤4＋4，

∴·的最大值为4＋4.]

13．已知a，b为正实数，函数f（x）＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，则f（x）在[－1,0]上的最小值为________．

－　[由a，b为正实数，可得函数y＝ax3＋bx的导函数y′＝3ax2＋b＞0，即可得函数y＝ax3＋bx在R上是增函数，由此可得函数f（x）＝ax3＋bx＋2x在R上是增函数，又由函数f（x）＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为f

（1）＝a＋b＋2＝4，可得a＋b＝2，∴函数f（x）在[－1,0]上的最小值为f（－1）＝－a－b＋＝－2＋＝－.]

14．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．（从小到大排列）

【导学号：

91632085】

1,1,3,3　[假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1，x2，x3，x4，

则∴

又s＝

＝

＝

＝1，

∴（x1－2）2＋（x2－2）2＝2.

同理可求得（x3－2）2＋（x4－2）2＝2.

由x1，x2，x3，x4均为正整数，且（x1，x2），（x3，x4）均为圆（x－2）2＋（y－2）2＝2上的点，分析知x1，x2，x3，x4应为1,1,3,3.]

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{an}的前10项和S10＝55.

（1）求an和bn；

（2）现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．

[解]　

（1）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.依题意得S10＝10＋d＝55，b4＝q3＝8，4分

解得d＝1，q＝2，

所以an＝n，bn＝2n－1.6分

（2）分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：

（1,1），（1,2），（1,4），（2,1），（2,2），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4）.12分

两项值相等的基本事件有2个：

（1,1），（2,2）．

故所求的概率P＝.14分

16．（本小题满分14分）已知函数f（x）＝－sin2x＋＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

[解]　

（1）f（x）＝－sin2x·cos－cos2x·sin＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝2sin.4分

所以f（x）的最小正周期T＝＝π.6分

（2）因为f（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数，10分

又f（0）＝－2，f＝2，f＝2，故函数f（x）在区间上的最大值为2，最小值为－2.14分

17．（本小题满分14分）如图3，四棱锥EABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD.

图3

（1）求证：

AB⊥ED；

（2）线段EA上是否存在点F，使DF∥平面BCE？

若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

[解]　

（1）证明：

取AB中点O，连结EO，DO.

∵EA＝EB，∴EO⊥AB.

∵AB∥CD，AB＝2CD，

∴BO∥CD，BO＝CD.4分

又AB⊥BC，∴四边形OBCD为矩形，

∴AB⊥DO.

∵EO∩DO＝O，∴AB⊥平面EOD.

∴AB⊥ED.6分

（2）存在点F，当F满足＝，即F为EA中点时，有DF∥平面BCE.

理由如下：

取EB中点G，连结CG，FG，DF.

∵F为EA中点，∴FG∥AB，FG＝AB.10分

∵AB∥CD，CD＝AB，∴FG∥CD，FG＝CD.

∴四边形CDFG是平行四边形，

∴DF∥CG.

∵DF⊄平面BCE，CG⊂平面BCE，

∴DF∥平面BCE.14分

18．（本小题满分16分）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：

kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

图4

X

1

2

3

4

Y

51

48

45

42

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．

（1）完成下表，并求所种作物的平均年收获量：

Y

51

48

45

42

频数

4

（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．

[解]　

（1）所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：

Y

51

48

45

42

频数

2

4

6

3

5分

所种作物的平均年收获量为

＝＝＝46.8分

（2）由

（1）知，P（Y＝51）＝，P（Y＝48）＝.12分

故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48kg的概率为

P（Y≥48）＝P（Y＝51）＋P（Y＝48）＝＋＝.16分

19．（本小题满分16分）已知函数f（x）＝x3－ax＋1.

（1）求x＝1时，f（x）取得极值，求a的值；

（2）求f（x）在[0,1]上的最小值；

（3）若对任意m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f（x）的切线，求a的取值范围．

[解]　

（1）因为f′（x）＝x2－a，2分

当x＝1时，f（x）取得极值，所以f′

（1）＝1－a＝0，a＝1.4分

又当x∈（－1,1）时，f′（x）＜0，x∈（1，＋∞）时，f′（x）＞0，

所以f（x）在x＝1处取得极小值，即a＝1符合题意.6分

（2）当a≤0时，f′（x）＞0对x∈（0,1）成立，

所以f（x）在[0,1]上单调递增，f（x）在x＝0处取最小值f（0）＝1，8分

当a＞0时，令f′（x）＝x2－a＝0，x1＝－，x2＝，

当0＜a＜1时，＜1，

x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

x∈（，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

所以f（x）在x＝处取得最小值f（）＝1－.

当a≥1时，≥1，

x∈[0,1]