两个平面的位置关系Word文档格式.docx
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1.a、B是两个不同的平面，m,n是平面a及B之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m
丄n,②a丄伏③n丄3④m丄a.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并证明它.
解析：
m丄a,n丄3a丄3'
m±
n（或m丄n,mla,n丄匸■a丄3）
证明如下：
过不在a、3内的任一点P,作PM//m,PN//n,
过PM、PN作平面r交a于MQ,交3于NQ.
m丄a
PM〃m「PM丄心PM丄MQ,
同理PN丄NQ.
因此/MPN+ZMQN=180
故/MQN=90°
u/MPN=90°
即m丄an丄B,a丄姑m±
n
2•自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线，求证：
它们所成的角与这个二面角的平面角互补.
证明：
如图PQ丄'
-，PQ丄AB,
PR丄：
，PR丄AB,
贝UAB丄面PQR.
经PQR的平面交：
•、［于SR、SQ,
那么AB丄SR,AB丄SQ.
/QSR就是二面角的平面角.
因四边形SRPQ中，/PQS=ZPRS=90°
因此/P+ZQSR=180°
.
3.在60°
的二面角M—a—N内有一点P,P到平面M、平面N的距离分别为1和2,求P点到直线a的距离.
本题涉及点到平面的距离，点到直线的距离，二面角的平面角等概念，图中都没有表示，按怎样的顺序先后作出相应的图形是解决本题的关键.可以有不同的作法，下面仅以一
个作法为例，说明这些概念的特点，分别作PA丄M,A是垂足，PB丄N,B是垂足，先作了
两条垂线，找出P点到两个平面的距离，其余概念要通过推理得出：
于是PA、PB确定平面
a,设anM=AC,aAN=BC,C€a.由于FA丄M，贝UPA丄a，同理PB丄a，因此a丄平面a,得a丄PC.这样，/ACB是二面角的平面角，PC是P点到直线a的距离，下面只要在四边形ACBP内，利用平面几何的知识在厶PAB中求出AB,再在△ABC中利用正弦定理
求外接圆直径2R=221，即为P点到直线a的距离，为221
33
4.判定下列命题的真假
（1）两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们的交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；
（2）
定分别与另一平面垂直;
两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线,
（3）两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直。
（1）若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，
如图，正方体AG中，平面AC丄平面AD，平面AGA平面AD=AD,
在AD上取点A,连结AB,贝UAB丄AD即过棱上一点A的直线AB与棱垂直，但AB与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB没有保证在平面ADDA1内，可以看出：
线在面内这一条件的重要性；
（2）该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体AC中，平面AD丄平面AC,AD平面ADDA,AB二平面ABCD且AB丄AD,即卩AB与AD相互垂直，但AD与平面ABCD不垂直；
（3）如图，正方体AC中，平面ADDA1丄平面ABCDAD二平面ADDA,A3平面ABCD
AD与AC所成的角为60°
即卩AD与AC不垂直
解：
由上面的分析知，命题⑴、⑵、⑶都是假命题。
点评：
在利用两个平面垂直的性质定理时，要注意下列的三个条件
缺一不可：
①两个平面垂直；
②直线必须在其中一个面内；
③直线必须垂直它们的交线。
5.设S为=-ABC平面外的一点，SA=SB=SC,-ASB二2二，—BSC=2-,—ASC=2,
若sin2二■sin2：
=sin2，求证：
平面asc_平面ABC。
（1）把角的关系转化为边的关系
（2）禾9用棱锥的性质（三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心）
设D为AB的中点
SA=SB
•ASD「s…AD=AB
SA
2SA
同理sin，BC,sin二AC
2SB2SC
SA=SB=SC且sinhsin2：
二sin2
.AB2BC2=AC2
即ABC为RtABC且S在平面上的射影O为ABC的外心
则O在斜边AC的中点。
.SO_平面ABC
；
SO二平面SAC
.平面ASC_平面ABC
教学过程
一.平面与平面的平行
例1已知平面、卩，如果直线a丄用,a丄卩,求证：
平面、乂//平面：
。
设a-=O1，过Oi作Hi,b1两相交直线，设a与a确定的平面为丫，：
=a2,从而a_a「a_a2=a1//a2=a〃：
同理R//1。
所以〉//1。
例2已知平面：
•//平面1,
（1）若直线a//平面：
•，判断直线a与平面一：
的位置关系。
若直线a丄平面：
（3）给出的三个平面（与
:
-、■-不重合），试判断平面：
•、■->
之间的位置关系。
（1）all卞或a二卜
（2）a_■-o
（3）//〉//［或：
，-,都相交。
例3在正方体ABCD-AB1C1D1中，M、N分别为棱AB、AP的中点，E、F分别为棱
BG、C1D1的中点。
（1）求证：
E、F、B、D共面；
（2）证明：
平面AMN//平面
EFDBo
（1）EF//B1D1,B1D1//BD,•••EF//BD,•••E、F、B、D共面。
（2）NE//A1B1,A1B1//AB,•••NE//AB，且NE=AB,•ABEN是平行四边形。
•AN//平面BEFDo
同理：
AM//平面BEFDo
•••平面AMN//平面EFDB。
二•平面与平面的垂直
例4已知平面：
•//平面一：
，平面丄〉，求证：
一：
丄°
设〉=a,在丫内作
c丄a=c丄口］c丄厂住“
讪卜c"
W丄”。
例5在三棱锥S-ABC中，/ASC二/ASB=60，/BSC=90,SA=SB=SC=a，求
证：
平面SAB丄平面SAC。
作BD丄SA于D,DE丄SC于E,连接BE，设SD=x,则SB=2x,
BDh』3x,DE3x,SE二仝,
22
又BSE
2
222X
=SB2SE=4x2
4
17x2
2223x
又BDDE=3x
17x
所以BD2DEBE2，所以
BD丄DE，又BD丄AS，从而BD丄面SAC。
所以平面SAB丄平面SAC。
.面角
例6在三棱锥S-ABC中,
SA丄底面ABC,AB丄BC,
DE垂直平分SC且分别交AC、
SC于D、E，又SA=AB,SB=BC，求以BD为棱，以BDE、BDC为面的二面角
的大小。
（I）求二面角Q—BD—C的大小:
（H）求二面角B—QD—C的大小.
E为SC的中点，SB=BC,•••BE丄SC,又DE丄SC,
•••SC丄平面BDE
•BD丄SC,又BD丄SA
•BD丄平面SAC
•••/EDG为二面角E-BD-C的平面角。
设SA=AB=1,贝USB=BC=2,•SC=2,SCA=300,EDC=60,
所以二面角E-BD-C的的大小为60°
例7在立体图形P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA丄底面ABCD,PA=AB,Q是PC中点.
AC,BD交于O点.
1
（I）解：
连QO,贝UQO//PA且QO=PA
=-AB
•/PA丄面ABCD
•QO丄面ABCD
面QBD过QO,•面QBD丄面ABCD
Q
故二面角Q—BD—C等于90°
.
（n）解：
过O作OH丄QD，垂足为H，连CH.
•/面QBD丄面BCD，又TCO丄BD，二CO丄面QBD,
•••CH在面QBD内的射影是OH。
•••OH丄QD，•CH丄QD，于是/OHC是二面角的平面角.
设正方形ABCD边长2,
则OQ=1,OD=、2,QD=,.3.
OH•QD=OQ•OD,
OH=2.
、3
又OC=、2，在RtACOH中:
tan/OHC=
OC
OH
.2
3
•/OHC=60°
故二面角B—QD—C等于60°
例8河堤斜面与水平面所成角为60°
堤面上有一条直道CD，它与堤脚的水平线AB的
夹角为30°
沿着这条直道从堤脚上行走到10米时，人升高了多少（精确到0.1米）？
解析:
已知
所求
河堤斜面与水平面所成角为60°
E到地面的距离
利用E或G构造棱上一点F
以EG为边构造三角形
取CD上一点E,设CE=10m,过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG,垂足为G,则线段EG的长就是所求的高度.
在河堤斜面内，作EF丄AB.垂足为F，连接FG,由三垂线定理的逆定理，知FG丄AB.因此，/EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角，/EFG=60°
由此得：
B
EG=EFsin60
=CEsin30°
sin60°
<
疋
4.3（m）
=10XX
答：
沿着直道向上行走到10米时，人升高了约4.3米.
例9四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB垂直面ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°
：
注意到题目中所给的二面角，面PAD与面PCD的棱为PD，围绕PD而考虑问题
解决途径.
证法一：
利用定义法
经A在PDA平面内作AE丄PD
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