高一秋季第2讲函数概念的深入理解目标班删解析Word文件下载.docx

高一秋季第2讲函数概念的深入理解目标班删解析Word文件下载.docx

《高一秋季第2讲函数概念的深入理解目标班删解析Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一秋季第2讲函数概念的深入理解目标班删解析Word文件下载.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；

在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如，图象法、列表法、解析法）表示函数；

通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．

映射

了解映射的概念．

北京

解读

2009年

2010年（新课标）

2011年（新课标）

2012年（新课标）

2013年（新课标）

第3题5分

第13题5分

第6题5分

第14题5分

第13题5分

第5题5分

<

教师备案>

函数贯穿整个高中的数学学习，高中函数的本质是一种对应关系，无论你用什么形式表达，只要对任何一个确定的自变量，存在唯一的函数值与之对应的就是函数关系，最常见也是最实用的是解析式表示．如：

，表示把任意一个东西对应到它的平方；

而则表示把任意一个东西对应到它加；

，表示把任何一个东西对应到它的相反数；

这种对应是更本质的，而且不依赖于字母的选择．

也可以通过图象给出对应关系，它的最大好处是可以直观地看出一个函数长什么样，后面我们会有一个很重要的任务，就是一点点教大家怎么去画一些你并不认识的函数图象，如，，，……．

本讲分成两个板块，

板块一是对函数符号的理解：

包括具体函数的求值问题、求解析式问题、抽象函数的求值问题与求解析式问题（仅限目标班）；

板块二是函数的定义域与值域问题：

包括基本的图象变换、具体函数与抽象复合函数的定义域问题、函数的值域的常见求法．

本讲内容在暑期对应第二讲《函数及其表示》，当时介绍了映射的概念、函数的概念与三要素（包括：

函数求值、同一函数、复合函数的概念、具体函数与抽象复合函数的定义域问题、利用图象法求常见函数的值域与最简单的复合函数的值域问题）、函数的表示法（其中解析式的求法介绍了代入法、配凑法、换元法、待定系数法）．

本讲会在预习的基本上重点介绍：

抽象函数的函数值求法、求函数解析式的方程组法、图象变换、求函数值域的方法总结．

考点1：

具体函数的求值问题

已知函数，

⑴如果，求的值；

⑵当为何值时，函数的最小值是？

【解析】⑴．

⑵．

【例1】⑴设，则_________．

⑵设函数，则的值为（）

A．B．C．D．

⑶已知且，则______．

⑷设，则_________．

⑸（目标班专用）已知函数，记，

，则______．

⑵D；

⑶；

⑷0

⑸．

考点1是具体函数的求值问题，即给出的解析式，求出具体的某个．考点2是具体函数的求解析式问题，即给出函数满足的某些条件或形式，求出．暑期时我们学习了求函数解析式的代入法、配凑法、换元法与待定系数法，这里介绍一种新的方法——方程组法，解决满足形如与的函数方程求解析式的问题．

考点2：

求函数解析式的方法总结

解析式给法分两种，一种是明着给的，一种是暗着给的．

⑴明着给的规则，如：

已知，求．

直接代入即可得；

对于这个问题需要理解清楚：

①的作用是把括号里的整体变成平方加，不管括号里面的是什么，都对应到它整体的平方加；

②中的与中的不一样，如它们很可能对应不同的取值范围；

③与不是同一个函数，解析式就不一样，但它们都有一个作用叫．

⑵暗着给的规则，如：

若，求．此时，对应的规则是不直接给出的．

关键要看对进行了什么操作，所以要把变成与相关的：

，于是，这就是配凑的方法．

也可以令，于是，代入得到，即换元法．

⑶暗着给的对应法则还要注意定义域的限制，如：

若，求．

可以用配凑法或换元法得到．于是我们得到．

但如何由得到呢，这不可能，因为，

∴．

1．已知函数，求．

【解析】．

2．已知是一次函数，且，求．

【解析】或．

【例2】⑴（目标班专用）若，求的表达式．

⑵已知，求．

⑶已知，求．

分析：

可求：

令，即得到．

那么令，得到……①

∵和互为倒数，∴当时，，当时，．

∴令，……②

由①，②得，

于是得到一般情况：

令与得到．

例2⑵⑶的方程组法，只需要换元一次，就能得到一个类似“二元一次方程组”，解出，下面的拓展题，需要用两次换元法，得到一个类似“三元一次方程组”，解出．

【拓展】设对满足的所有实数，函数满足，求所有可能的．

对于法则只有一个描述，而不直接给出对应法则，反过来要求对应法则相关的问题，在数学中统称为函数方程问题（是以函数的解析式为未知量，给出一些相关条件，去求解函数）．也叫抽象函数问题，这是与给出解析式的具体函数对应的．

通过函数方程求值、通过函数方程求解析式（仅目标班）、判断单调性与奇偶性的问题，都是我们后面要研究的函数方程问题．这类问题的主要方法是赋值法．

考点3：

抽象函数的求值问题

【铺垫】已知的定义域为，对任意的，有，则_____．

【解析】；

【例3】⑴定义在（正实数集）上的函数满足（），已知

，则______，________．

⑵定义在上的函数满足（），，

则_______，________．

⑶（目标班专用）对任意实数，均满足，且，则_____．

【解析】⑴；

⑵；

【拓展】已知定义域为的函数满足；

，且．

⑴求；

⑵求证：

．

⑵，故，从而．

令得，，故．命题得证．

考点：

抽象函数的解析式问题（目标班专用）

【例4】⑴设是定义在上的函数，满足，且对任意的，都有

，则_________．

⑵设是定义在上的函数，满足，且对任意的，都有

考点4：

函数图象的三大变换

图象变换有四种基本的形式，包含九种具体的变换方式，如下：

函数的图象经过对应的变换后的对应解析式如下（）：

四种基本

变换形式

九种具体的

变换方式

针对图象的具体操作

变换后对应的解析式

平移变换

水平平移

向右（左）平移个单位

（）

垂直平移

向上（下）平移个单位

翻折变换

上下翻折

轴上方的图象不变，将轴下方的图象翻折到轴上方来

左右翻折

轴右边的图象不变，将轴右边的图象翻折到轴的左边覆盖原来左边的图象

对称变换

按轴对称

将的图象作关于轴的对称

按原点对称

将的图象作关于原点的对称

伸缩变换

横向伸缩

纵坐标不变，横坐标变为原来的（倍）

纵向伸缩

横坐标不变，纵坐标变为到原来的（倍）

我们在这里只讲前面三种图象形式的形式，最后一种图象的伸缩变换我们放到三角函数的图象与性质中再讲．

一个函数经过图象变换变成一个新的函数，变化过程有两个基本原则：

①所有的变换都只针对或本体；

②的变化只影响横方向，的变化只影响纵方向．

由此我们可以得到：

函数图象纵方向的变换，如上下平移不会改变函数定义域；

而横方向的变换，如左右平移不会改变函数的值域．

函数图象的三大变换：

平移、对称、翻折．

给定函数，，

⑴函数图象的平移：

包括上下平移与左右平移，得到与，见下图⑴；

⑵函数图象的对称：

得到，见下图⑵；

⑶函数图象的翻折：

得到与，见下图⑶．

⑴平移变换⑵对称变换⑶翻折变换

老师可以结合下面的小例子讲解这三个图象变换：

⑴平移：

例：

的图象向右平移1个单位得到；

的图象向上平移一个单位得到；

已知函数的定义域为，则的定义域为．

当一个函数平移时定义域也会平移，例如：

定义域为，表示向左平移1个单位，∴定义域也向左平移1个单位，即为．

⑵对称

与不同，是先，再取负；

是先取负，再．

“”负号加在函数值身上，∴不变，函数值为原来的相反数．

∴只是沿轴把上下颠倒一下．

“”负号加在自变量身上，∴自变量在变，原来在处取到的，现在在处取到，原来在取到的值现在在3处取到．

可以将的图象分别按轴对称一下，再按轴对称一下，顺序不限．

⑶翻折：

→：

先再取绝对值，相当于把所有负的函数值变成正的，正的函数值保持不变．即把轴下方的部分翻折到轴上方，轴上方的不变；

先取绝对值再，当时，函数值不变；

当时，取处的函数值，所以原来轴左边的图象直接被无视，而轴右边的图象被翻折到轴左边，最后得到的图象一定关于轴对称．

综上所述，可以得到一个很简单的结论，所有的函数变化，首先要看这个变化施加在谁身上，若施加在身，那么它的变化将是横方向上的变化，若变化施加在身上，它的变化将是纵向的．

【铺垫】试用图象变换的知识画出下列函数的草图：

⑴；

⑶．

【解析】

⑴⑵⑶

【例5】（目标班专用）试用图象变换的知识画出下列函数的草图：

【备注】⑴－⑶只给出一种可行的方式，方式不唯一，需要明确的是：

所有的变换都针对本身，所以想得到只能先翻折再平移，不能先平移再翻折．

考点5：

函数的定义域

求函数定义域问题：

⑴具体函数的自然定义域：

目前的限制条件有分母不为零，零的零次方无意义，偶次根式下非负；

（自然定义域以后还会增加对数函数的真数不为零，指数函数的底数大于零且不等于等，一个函数不标注定义域，则指得就是它的自然定义域，如，不需要再注明）．

⑵限制定义域：

①人为规定的限制，如；

②实际背景的限制，如物理中的时间；

再如实际问题中，一个物体的个数是非负整数等；

⑶抽象复合函数的定义域问题．

1．函数的定义域是．

2．⑴已知函数的定义域为，则的定义域为______；

⑵已知函数的定义域为，则的定义域为______；

⑶已知函数的定义域为，则的定义域为_______．

【分析】以第⑴小题为例：

为什么会这样？

可以从两个角度来理解：

一是上面所说的图象的平移变换；

向右平移个单位得到，所以的定义域也是的定义域向右平移一个单位得到的．

第二种理解是直接从对函数的理解入手：

需理解①与是两个不同函数；

②定义域是指的范围．而这两个函数的公共点在于是有要求的，对于而言只有当时才能被作用，这个之外的数就作用不了，所以会对内的数加以限制，同样的的规则也会对括号中的数加以限制，这样就得到一个基本的等价形式，∵都在的作用下，∴内的范围应相同．

可以直接把⑴对应的函数简单地构造出来，帮助学习理解，如满足定义域为，则，定义域为．

【例6】⑴若函数的定义域为，函数的定义域为，

则________；

⑵若函数的定义域为非空集合，函数的定义域为，若，则的取值范围是_________．

⑶（目标班专用）已知函数的定义域为非空集合，函数的定义域为非空集合．若，，求实数的值及实数的取值范围．

⑶，的取值范围是．

虽然抽象函数的定义域我们在暑期预习时已经讲过，但考虑到这是一个难点，所以在这里我们仍然安排了一道例题，老师可以根据暑假知识回顾的讲解，