高三数学一轮复习第4讲函数的基本性质教案Word下载.docx
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如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数。
注意:
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。
(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:
首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
确定f(-x)与f(x)的关系;
作出相应结论:
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;
若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数。
(3)简单性质:
①图象的对称性质:
一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;
一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;
②设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇
2.单调性
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<
x2时,都有f(x1)<
f(x2)(f(x1)>
f(x2)),那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数);
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;
当x1<
x2时,总有f(x1)<
f(x2)
(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。
(3)设复合函数y=f,其中u=g(x),A是y=f定义域的某个区间,B是映射g:
x→u=g(x)的象集:
①若u=g(x)在A上是增(或减)函数,y=f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y=f在A上是增函数;
②若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y=f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y=f在A上是减函数。
(4)判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
任取x1,x2∈D,且x1<
x2;
作差f(x1)-f(x2);
变形(通常是因式分解和配方);
定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。
(5)简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同;
②偶函数在其对称区间上的单调性相反;
③在公共定义域内:
增函数增函数是增函数;
减函数减函数是减函数;
增函数减函数是增函数;
减函数增函数是减函数。
3.最值
最大值:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
②存在x0∈I,使得f(x0)=M。
那么,称M是函数y=f(x)的最大值。
最小值:
①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;
函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I,使得f(x0)=M;
函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M)。
(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法:
利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;
利用图象求函数的最大(小)值;
利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
4.周期性
如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数;
(2)性质:
①f(x+T)=f(x)常常写作若f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为f(x)的最小正周期;
②若周期函数f(x)的周期为T,则f(ωx)(ω≠0)是周期函数,且周期为。
典例解析:
1.(2012·
陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
A.y=x+1 B.y=-x3
C.y=D.y=x|x|
解析:
选D 由函数的奇偶性排除A,由函数的单调性排除B、C,由y=x|x|的图象可知此函数为增函数,又该函数为奇函数,故选D.
2.函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则( )
A.k>
B.k<
C.k>
-D.k<
-
选D 函数y=(2k+1)x+b是减函数,
则2k+1<
0,即k<
-.
3.(教材习题改编)函数f(x)=的最大值是( )
A.B.
C.D.
选D ∵1-x(1-x)=x2-x+1=2+≥,∴0<
≤.
4.(教材习题改编)f(x)=x2-2x(x∈)的单调增区间为________;
f(x)max=________.
函数f(x)的对称轴x=1,单调增区间为,f(x)max=f(-2)=f(4)=8.
答案:
8
5.已知函数f(x)为R上的减函数,若m<
n,则f(m)______f(n);
若f<
f
(1),则实数x的取值范围是______.
由题意知f(m)>
f(n);
>
1,即|x|<
1,且x≠0.
故-1<
x<
1且x≠0.
(-1,0)∪(0,1)
1.函数的单调性是局部性质
从定义上看,函数的单调性是指函数在定义域的某个子
区间上的性质,是局部的特征.在某个区间上单调,在整
个定义域上不一定单调.
2.函数的单调区间的求法
函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函
数的单调区间,必须先求出函数的定义域.对于基本初等
函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函数、
对数函数、指数函数等;
如果是复合函数,应根据复合函
数的单调性的判断方法,首先判断两个简单函数的单调性,
再根据“同则增,异则减”的法则求解函数的单调区间.
单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;
如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结.
函数单调性的判断
典题导入
(理)判断函数f(x)=x+(a>
0)在(0,+∞)上的单调性.
设x1>
x2>
0,则
f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)+=(x1-x2)+=(x1-x2).
当≥x1>
0时,x1-x2>
0,1-<
0,
有f(x1)-f(x2)<
0,即f(x1)<
f(x2),
此时,函数f(x)=x+(a>
0)是减函数;
当x1>
x2≥时,x1-x2>
0,1->
有f(x1)-f(x2)>
0,即f(x1)>
0)是增函数.
综上可知,函数f(x)=x+(a>
0)在(0,]上为减函数;
在[,+∞)上为增函数.
(文)证明函数f(x)=2x-在(-∞,0)上是增函数.
设x1,x2是区间(-∞,0)上的任意两个自变量的值,且x1<
x2.
则f(x1)=2x1-,f(x2)=2x2-,
f(x1)-f(x2)=-
=2(x1-x2)+
=(x1-x2)
由于x1<
x2<
0,所以x1-x2<
0,2+>
因此f(x1)-f(x2)<
即f(x1)<
故f(x)在(-∞,0)上是增函数.
由题悟法
对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法:
(1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明;
(2)可导函数则可以利用导数证明.对于抽象函数单调性的证明,一般采用定义法进行.
以题试法
1.判断函数g(x)=在(1,+∞)上的单调性.
解:
任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<
x2,
则g(x1)-g(x2)=-
=,
由于1<
x1<
所以x1-x2<
0,(x1-1)(x2-1)>
因此g(x1)-g(x2)<
0,即g(x1)<
g(x2).
故g(x)在(1,+∞)上是增函数.
求函数的单调区间
(2012·
长沙模拟)设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数k,定义函数fk(x)=取函数f(x)=2-|x|.当k=时,函数fk(x)的单调递增区间为( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.(-∞,-1)D.(1,+∞)
由f(x)>
,得-1<
1.由f(x)≤,得x≤-1或x≥1.
所以f(x)=
故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1).
C
若本例中f(x)=2-|x|变为f(x)=log2|x|,其他条件不变,则fk(x)的单调增区间为________.
函数f(x)=log2|x|,k=时,函数fk(x)的图象如图所示,由图示可得函数fk(x)的单调递增区间为(0,].
(0,]
求函数的单调区间的常用方法
(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.
(2)定义法:
先求定义域,再利用单调性定义.
(3)图象法:
如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.
(4)导数法:
利用导数的正负确定函数的单调区间.
2.函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是( )
A.B.
C.D..
单调性的应用
(1)若f(x)为R上的增函数,则满足f(2-m)<
f(m2)的实数m的取值范围是________.
(2)(2012·
安徽高考)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是
(1)∵f(x)在R上为增函数,∴2-m<
m2.
∴m2+m-2>
0.∴m>
1或m<
-2.
(2)由f(x)=可得函数f(x)的单调递增区间为,故3=-,解得a=-6.
(1)(-∞,-2)∪(1,+∞)
(2)-6
单调性的应用主要涉及利用单调性求最值,进行大小比较,解抽象函数不等式,解题时要注意:
一是函数定义域的限制;
二是函