第一轮复习理科数学教师用书配套习题课时提升作Word格式文档下载.docx

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【解析】选C.f′（x）=3x2-6x=3x（x-2），因为-1≤x≤1，所以令f′（x）>

0得-1≤x<

0，令f′（x）<

0得0<

x≤1，所以函数f（x）在（-1，0）上是增加的，在（0，1）上是减少的.所以x=0时函数f（x）取得极大值同时也是最大值，即f（x）max=f（0）=2,故C正确.

3.设函数y=f（x）在（a,b）上的导函数为f′（x）,f′（x）在（a,b）上的导函数为

f″（x），若在（a,b）上，f″（x）<

0恒成立，则称函数f（x）在（a,b）上为“凸函数”.已知当m≤2时，f（x）=x3-mx2+x在（-1，2）上是“凸函数”，则f（x）在（-1，2）上（）

A.既有极大值，也有极小值

B.既有极大值，也有最小值

C.有极大值，没有极小值

D.没有极大值，也没有极小值

【解析】选C.由题设可知：

f″（x）<

0在（-1，2）上恒成立，由于f′（x）=x2-mx+1，从而f″（x）=x-m，所以有x-m<

0在（-1，2）上恒成立，故知m≥2，又因为m≤2，所以m=2；

从而f（x）=x3-x2+x，令f′（x）=x2-2x+1=0得x1=2-∈（-1,2），x2=2+∉（-1,2）;

且当x∈（-1,2-）时f′（x）>

0，当x∈（2-,2）时f′（x）<

0,所以在（-1,2）上f（x）在x=2-处取得极大值，没有极小值.

4.（2015·

合肥模拟）已知f′（x）是定义在R上的函数f（x）的导函数，且f（x）=

f（5-x）,（-x）f′（x）＜0，若x1＜x2,x1+x2＜5，则下列结论中正确的是（）

A.f（x1）＜f（x2）B.f（x1）+f（x2）＞0

C.f（x1）+f（x2）＜0D.f（x1）＞f（x2）

【解析】选D.因为函数f（x）满足f（x）=f（5-x），则函数f（x）的图像关于x=对称，又因为（-x）f′（x）＜0，所以当x＞，f′（x）＞0，故函数f（x）在（,

+∞）上是增加的，在（-∞，）上是减少的，在x=处取得最小值，又因为x1＜x2,x1+x2＜5，故|x1-|＞|x2-|，所以f（x1）＞f（x2）.

5.设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1-x）f′（x）的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（）

A.函数f（x）有极大值f

（2）和极小值f

（1）

B.函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f

（1）

C.函数f（x）有极大值f

（2）和极小值f（-2）

D.函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f

（2）

【解析】选D.由图像知，f′（-2）=f′

（2）=0，且当x<

-2时，f′（x）>

0，-2<

1，1＜x＜2时，f′（x）<

0，当x>

2时，f′（x）>

0，故f（-2）是极大值，f

（2）是极小值.

二、填空题（每小题5分，共15分）

6.已知函数f（x）=（ax2+x）-xlnx在［1，+∞）上是增加的，则实数a的取值范围是_________.

【解题提示】求导利用导数大于等于0转化为恒成立问题，再构造函数求解.

【解析】由题意知：

f′（x）=2ax+1-（lnx+1）≥0，

即a≥在x∈［1,+∞）上恒成立；

设g（x）=，令g′（x）==0，解得x=e，

当x∈（e,+∞）时，g′（x）<

0，g（x）是减少的，

当x∈［1,e）时，g′（x）>

0，g（x）是增加的，

故g（x）的最大值为g（e）=，即a≥.

答案:

a≥

7.（2015·

银川模拟）函数f（x）=x（x-m）2在x=1处取得极小值，则m=_______.

【解析】f′

（1）=0可得m=1或m=3.

当m=3时，f′（x）=3（x-1）（x-3），

1<

3时,f′（x）<

0;

1或x>

3时，f′（x）>

0，此时x=1处取得极大值，不合题意，所以m=1.

1

【误区警示】本题易出现求出m值后不进行验证能否在x=1处取得极小值，导致解题错误.

8.已知函数f（x）的定义域为［-1，5］，部分对应值如表：

x

-1

2

4

5

f（x）

f（x）的导函数y=f′（x）的图像如图所示，则f（x）的极小值为________.

【解析】由y=f′（x）的图像可知，f′（x）与f（x）随x的变化情况如表：

（-1,0）

（0,2）

（2,4）

（4,5）

f′（x）

+

-

↗

极大值

↘

极小值

所以f

（2）为f（x）的极小值，f

（2）=0.

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.（2015·

安庆模拟）已知函数f（x）=a（x-1）2+lnx+1.

（1）当a=-时，求函数f（x）的极值.

（2）若函数f（x）在区间［2，4］上是减少的，求实数a的取值范围.

【解析】

（1）当a=-时，f（x）=-（x-1）2+lnx+1=-x2+x+lnx+（x>

0），

f′（x）=-x++=-（x>

0）,

由f′（x）>

0解得0<

2，由f′（x）<

0解得x>

2，

故f（x）在（0，2）上是增加的，在（2，+∞）上是减少的.

所以当x=2时，函数f（x）取得极大值f

（2）=+ln2.

（2）f′（x）=2a（x-1）+，因为函数f（x）在区间［2，4］上是减少的，

所以f′（x）=2a（x-1）+≤0在区间［2,4］上恒成立，即2a≤在［2，4］上恒成立，

只需2a不大于在［2，4］上的最小值即可.

而=（2≤x≤4），则当2≤x≤4时，∈，所以2a≤-，即a≤-，故实数a的取值范围是（-∞,-].

10.（2014·

安徽高考）设函数f（x）=1+（1+a）x-x2-x3,其中a＞0.

（1）讨论f（x）在其定义域上的单调性.

（2）当x∈［0,1］时，求f（x）取得最大值和最小值时x的值.

（1）f（x）的定义域为（－∞,+∞）,

f′（x）=1+a-2x-3x2，

令f′（x）=0得x1=,

x2=，x1<

x2，

所以f′（x）=-3（x-x1）（x-x2），

当x<

x1或x>

x2时f′（x）<

0；

当x1<

x2时f′（x）>

0.

所以f（x）在和上是减少的，

在上是增加的.

（2）因为a>

0,所以x1<

0,x2>

①当a≥4时，x2≥1，由

（1）知，f（x）在［0,1］上是增加的，所以f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.

②当0<

a<

4时，x2<

1，由

（1）知，f（x）在［0,x2］上是增加的，在［x2,1］上是减少的.

所以f（x）在x=x2=处取得最大值.

又f（0）=1,f

（1）=a,

所以当0<

1时，f（x）在x=1处取得最小值；

当a=1时，f（x）在x=0和x=1处同时取得最小值；

当1<

4时，f（x）在x=0处取得最小值.

【加固训练】

（2015·

马鞍山模拟）已知函数f（x）=lnx-ax2+（a-2）x.

（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值.

（2）求函数y=f（x）在［a2，a］上的最大值.

（1）因为f（x）=lnx-ax2+（a-2）x，所以函数的定义域为（0,+∞），

所以f′（x）=

因为f（x）在x=1处取得极值，

即f′

（1）=-（2-1）（a+1）=0，所以a=-1.

当a=-1时，在（，1）内f′（x）<

0，在（1，+∞）内f′（x）>

0，

所以x=1是函数f（x）的极小值点，所以a=-1.

（2）因为a2<

a，所以0<

1，

f′（x）=

因为x∈（0,+∞），所以ax+1>

所以f（x）在（0，）上是增加的；

在（，+∞）上是减少的.

①当0<

a≤时，f（x）在［a2,a］上是增加的，

所以f（x）max=f（a）=lna-a3+a2-2a.

②当即时，f（x）在上是增加的，在上是减少的，

所以f（x）max=f（）=;

③当≤a2，即≤a<

1时，f（x）在［a2,a］上是减少的，所以f（x）max=f（a2）=

2lna-a5+a3-2a2.

综上所述，当0<

a≤时，函数y=f（x）在［a2,a］上的最大值是lna-a3+a2-2a;

当<

时，函数y=f（x）在［a2,a］上的最大值是-1-ln2;

当≤a＜1时，函数y=f（x）在［a2,a］上的最大值是2lna-a5+a3-2a2.

（20分钟40分）

1.（5分）若函数f（x）=x3-ax2+（a-1）x+1在区间（1，4）上是减少的，在区间（6,

+∞）上是增加的，则实数a的取值范围是（）

A.（-∞,2］B.［5,7］

C.［4,6］D.（-∞,5］∪［7,+∞）

【解题提示】求出原函数的导函数，求得导函数的零点1，a-1，然后讨论1与a-1的大小，分析导函数在不同区间内的符号，从而得到原函数在不同区间内的单调性，最后借助已知条件得到a-1与4和6的关系，则答案可求.

【解析】选B.由函数f（x）=x3-ax2+（a-1）x+1，得f′（x）=x2-ax+a-1.

令f′（x）=0,解得x=1或x=a-1.

当a-1≤1，即a≤2时，f′（x）在（1，+∞）上大于0，函数f（x）在（1，+∞）上是增加的，不合题意；

当a-1>

1，即a>

2时，f′（x）在（-∞，1）上大于0，函数f（x）在（-∞，1）上是增加的，

f′（x）在（1,a-1）内小于0，函数f（x）在（1，a-1）上是减少的，f′（x）在（a-1,

+∞）内大于0，

函数f（x）在（a-1,+∞）上是增加的.

依题意应有：

当x∈（1,4）时，f′（x）<

0，当x∈（6,+∞）时，f′（x）>

0，所以4≤a-1≤6，解得5≤a≤7，所以a的取值范围是［5，7］,故选B.

2.（5分）（2015·

淮南模拟）设函数f（x）=6x3+3（a+2）x2+2ax，若f（x）有两个极值点x1,x2且x1·

x2=1，则a的值为（）

A.6B.7C.8D.9

【解析】选D.因为f′（x）=18x2+6（a+2）x+2a，令f′（x）=0得18x2+6（a+2）x+2a=0，由题意知x1,x2是方程f′（x）=0的两根，故x1x2==1，因此a=9.

3.（5分）（2014·

辽宁高考）当x∈[-2,1]时，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）

A.[-5,-3]B.[-6,-]

C.[-6,-2]D.[-4,-3]

【解析】选Ｃ.当x∈（0,1]时，不等式ax3-x2+4x+3≥0⇒a≥,x∈（0,1]恒