第二章 函数与基本初等函数I第2讲 函数的单调性与最值 讲义辅导培训班家教一轮复习专用.docx

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1．函数的单调性

（1）单调函数的定义

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1

当x1f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

（2）单调区间的定义

如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．

2．函数的最值

前提

设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；

（2）存在x0∈I，使得f（x0）＝M

（3）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；

（4）存在x0∈I，使得f（x0）＝M

结论

M为最大值

M为最小值

【知识拓展】

函数单调性的常用结论

（1）对∀x1，x2∈D（x1≠x2），

>0⇔f（x）在D上是增函数，

<0⇔f（x）在D上是减函数．

（2）对勾函数y＝x＋

（a>0）的增区间为（－∞，－

]和[

，＋∞），减区间为[－

，0）和（0，

]．

（3）在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

（4）函数f（g（x））的单调性与函数y＝f（u）和u＝g（x）的单调性的关系是“同增异减”．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）若定义在R上的函数f（x），有f（－1）

（2）函数y＝f（x）在[1，＋∞）上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞）．（　×　）

（3）函数y＝

的单调递减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）．（　×　）

（4）所有的单调函数都有最值．（　×　）

（5）如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．（　×　）

（6）闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．（　√　）

1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（　　）

A．y＝e－xB．y＝x3

C．y＝lnxD．y＝|x|

答案　B

解析　由所给选项知只有y＝x3的定义域是R且为增函数，故选B.

2．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是（　　）

A．2B．－2C．2或－2D．0

答案　C

解析　当a>0时，由题意得2a＋1－（a＋1）＝2，即a＝2；当a<0时，a＋1－（2a＋1）＝2，即a＝－2，所以a＝±2，故选C.

3．（2016·广州模拟）函数y＝x2＋2x－3（x>0）的单调增区间为________．

答案　（0，＋∞）

解析　函数的对称轴为x＝－1，又x>0，

所以函数f（x）的单调增区间为（0，＋∞）．

4．（教材改编）已知函数f（x）＝x2－2ax－3在区间[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为________________________________________________________________________．

答案　（－∞，1]

解析　函数f（x）＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．

由图象可知函数f（x）的单调递增区间是[a，＋∞），

由[1,2]⊆[a，＋∞），可得a≤1.

5．（教材改编）已知函数f（x）＝

，x∈[2,6]，则f（x）的最大值为________，最小值为________．

答案　2　

解析　可判断函数f（x）＝

在[2,6]上为减函数，所以f（x）max＝f

（2）＝2，f（x）min＝f（6）＝

.

题型一　确定函数的单调性（区间）

命题点1　给出具体解析式的函数的单调性

例1　

（1）函数f（x）＝log

（x2－4）的单调递增区间是（　　）

A．（0，＋∞）B．（－∞，0）

C．（2，＋∞）D．（－∞，－2）

（2）y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间为________．

答案　

（1）D　

（2）（－∞，－1]，[0,1]

解析　

（1）因为y＝log

t，t>0在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为（－∞，－2）．

（2）由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，

二次函数的图象如图．

由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在（－∞，－1]，[0,1]上是增函数.

命题点2　解析式含参数的函数的单调性

例2　已知函数f（x）＝

（a>0），用定义法判断函数f（x）在（－1,1）上的单调性．

解　设－1

则f（x1）－f（x2）＝

－

＝

＝

∵－1

∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，（x

－1）（x

－1）>0.

又∵a>0，∴f（x1）－f（x2）>0，

∴函数f（x）在（－1,1）上为减函数．

引申探究

如何用导数法求解例2?

解　f′（x）＝

＝

，

∵a>0，∴f′（x）<0在（－1,1）上恒成立，

故函数f（x）在（－1,1）上为减函数．

思维升华　确定函数单调性的方法：

（1）定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；

（2）复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；（3）图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．

（1）已知函数f（x）＝

，则该函数的单调递增区间为（　　）

A．（－∞，1]B．[3，＋∞）

C．（－∞，－1]D．[1，＋∞）

（2）函数f（x）＝（3－x2）ex的单调递增区间是（　　）

A．（－∞，0）B．（0，＋∞）

C．（－3,1）D．（－∞，－3）和（1，＋∞）

答案　

（1）B　

（2）C

解析　

（1）设t＝x2－2x－3，则t≥0，即x2－2x－3≥0，

解得x≤－1或x≥3.所以函数的定义域为（－∞，－1]∪[3，＋∞）．

因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，

所以函数t在（－∞，－1]上单调递减，

在[3，＋∞）上单调递增．

所以函数f（x）的单调递增区间为[3，＋∞）．

（2）f′（x）＝－2x·ex＋ex（3－x2）＝ex（－x2－2x＋3）＝ex[－（x＋3）（x－1）]．

当－30，所以函数y＝（3－x2）ex的单调递增区间是（－3,1），故选C.

题型二　函数的最值

例3　

（1）函数f（x）＝

的最大值为________．

答案　2

解析　当x≥1时，函数f（x）＝

为减函数，所以f（x）在x＝1处取得最大值，为f

（1）＝1；当x<1时，易知函数f（x）＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f（0）＝2.

故函数f（x）的最大值为2.

（2）已知f（x）＝

，x∈[1，＋∞），且a≤1.

①当a＝

时，求函数f（x）的最小值；

②若对任意x∈[1，＋∞），f（x）>0恒成立，试求实数a的取值范围．

解　①当a＝

时，f（x）＝x＋

＋2，

又x∈[1，＋∞），所以f′（x）＝1－

>0，即f（x）在[1，＋∞）上是增函数，

所以f（x）min＝f

（1）＝1＋

＋2＝

.

②f（x）＝x＋

＋2，x∈[1，＋∞）．

（ⅰ）当a≤0时，f（x）在[1，＋∞）内为增函数．

最小值为f

（1）＝a＋3.

要使f（x）>0在x∈[1，＋∞）上恒成立，只需a＋3>0，

所以－3

（ⅱ）当0

，

因为x∈[1，＋∞），所以f′（x）≥0，即f（x）在[1，＋∞）上为增函数，

所以f（x）min＝f

（1）＝a＋3，

即a＋3>0，a>－3，所以0

综上所述，f（x）在[1，＋∞）上恒大于零时，

a的取值范围是（－3,1]．

思维升华　求函数最值的五种常用方法及其思路

（1）单调性法：

先确定函数的单调性，再由单调性求最值．

（2）图象法：

先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．

（3）基本不等式法：

先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．

（4）导数法：

先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．

（5）换元法：

对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．

（1）函数y＝x＋

的最小值为________．

（2）函数f（x）＝

（x>1）的最小值为________．

答案　

（1）1　

（2）8

解析　

（1）易知函数y＝x＋

在[1，＋∞）上为增函数，∴x＝1时，ymin＝1.（本题也可用换元法求解）

（2）方法一　（基本不等式法）f（x）＝

＝

＝（x－1）＋

＋2≥2

＋2＝8，

当且仅当x－1＝

，即x＝4时，f（x）min＝8.

方法二　（导数法）f′（x）＝

，

令f′（x）＝0，得x＝4或x＝－2（舍去）．

当1

f（x）在（1,4）上是递减的；

当x>4时，f′（x）>0，

f（x）在（4，＋∞）上是递增的，

所以f（x）在x＝4处取到极小值也是最小值，

即f（x）min＝f（4）＝8.

题型三　函数单调性的应用

命题点1　比较大小

例4　已知函数f（x）的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f（x2）－f（x1）]·（x2－x1）<0恒成立，设a＝f（－

），b＝f

（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．c>a>bB．c>b>aC．a>c>bD．b>a>c

答案　D

解析　根据已知可得函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，且在（1，＋∞）上是减函数，因为a＝f（－

）＝f（

），且2<

<3，所以b>a>c.

命题点2　解函数不等式

例5　（2017·珠海月考）定义在R上的奇函数y＝f（x）在（0，＋∞）上递增，且f（

）＝0，则满足f（log

x）>0的x的集合为________________．

答案　{x|0

或1

解析　由题意知f（

）＝0，f（－

）＝0，

由f（log

x）>0，得log

x>

，

或－

x<0，解得0

或1

命题点3　求参数范围

例6　

（1）如果函数f（x）＝ax2＋2x－3在区间（－∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是（　　）

A．a>－

B．a≥－

C．－

≤a<0D．－

≤a≤0

（2）已知f（x）＝

满足对任意x1≠x2，都有

>0成立，那么a的取值范围是________．

答案　

（1）D　

（2）[

，2）

解析　

（1）当a＝0时，f（x）＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在（－∞，4）上单调递增；

当a≠0时，二次函数f（x）的对称轴为x＝－

，

因为f（x）在（－∞，4）上单调递增，

所以a<0，且－

≥4，解得－

≤a<0.

综合上述得－

≤a≤0.

（2）由已知条件得f（x）为增函数，

所以

解得

≤a<2，所以a的取值范围是[

，2）．

思维升华　函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

（1）比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区