人教版高中数学必修⑤22《等差数列》教学设计docWord文件下载.docx

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1．理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；

2．会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。

教学难点：

1．概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

2．等差数列通项公式及性质的灵活运用

教具：

多媒体、实物投影仪

教学方法：

合作探究、分层推进教学法

教学过程：

一、双基回眸科学导入：

★同学们，上两节课我们学习了数列的定义及相关的性质，下面，请同学们简单地回顾一下：

什么是数列？

什么是数列的项？

数列有几种分类方法？

什么是数列的通项公式？

什么是数列的递推公式？

★在日常生活中，我们经常会遇到一类特殊的数列。

如：

由学生观察分析并得出答案：

●在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：

0，5，____,____,____,____,……

●2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。

该项目共设置了7个级别。

其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：

kg）：

48，53，58，63。

●水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。

如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。

那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：

m）：

18，15.5，13，10.5，8，5.5

●我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。

按照单利计算本利和的公式是：

本利和=本金×

（1+利率×

寸期）.例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%。

那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：

时间

年初本金（元）

年末本利和（元）

第1年

10000

10072

第2年

10144

第3年

10216

第4年

10288

第5年

10360

各年末的本利和（单位：

元）组成了数列：

10072，10144，10216，10288，10360。

思考：

同学们观察一下上面的这四个数列：

0，5，10，15，20，……①

48，53，58，63②

18，15.5，13，10.5，8，5.5③

10072，10144，10216，10288，10360④

看这些数列有什么共同特点呢？

今天，我们就来探究这类数列：

二、创设情境合作探究：

通过上面的四个实例，同学们观察相邻两项间的关系

回答、探究下列问题：

●对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；

对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；

对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；

对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；

●总结归纳得到等差数列的概念：

一般地，如果一个数列，那么这个数列就叫做等差数列。

叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是，，，。

如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？

●等差中项概念：

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的。

●等差数列的通项公式

（1）对于以上的等差数列，它们的通项公式存在吗？

如果存在，分别是什么？

①②

③④

（2）如果任意给了一个等差数列的首项和公差d，它的通项公式是什么呢？

根据等差数列的定义进行归纳：

…

所以

……

由此我们可以得出：

以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为：

★等差数列的通项公式的其他推导方法：

1、（迭加法）：

是等差数列，所以

两边分别相加得

2、（迭代法）：

是等差数列，则有

……

【小试牛刀】

1、判定下列数列是否可能是等差数列？

如果是，写出通项公式

（1）9，8，7，6，5，4，……；

（2）1，1，1，1，……；

（3）1，0，1，0，1，……；

（4）1，2，3，2，3，4，……；

（5）a,a,a,a,……；

（6）0，0，0，0，0，0，…….

2、在等差数列｛an｝中，

1）已知a1=2,d=3,n=10,求an

2）已知a1=3,an=21,d=2,求n

3）已知a1=12,a6=27,求d

4）已知d=,a7=8,求a1

三、互动达标巩固所学：

问题.1⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.

⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？

如果是，是第几项？

【分析】⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来。

首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；

⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。

要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。

【解析】⑴由=8，d=5-8=-3，n=20，得

⑵由=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。

解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。

【点评】从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d、n（独立的量有3个）的方程；

另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。

问题.2某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。

如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？

【分析】此题是一个实际问题，首先搞清题意，然后提取数学信息进行分析，建立相应的数学模型，本题显然是一个等差数列的模型

【解析】解：

根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费.

令=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。

那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费

答：

需要支付车费23.2元。

【点评】这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。

问题.3已知数列的通项公式为其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？

【分析】判定是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看（n＞1）是不是一个与n无关的常数。

【解析】取数列中的任意相邻两项（n＞1），

求差得

它是一个与n无关的数.所以是等差数列。

这个等差数列的首项与公差分别是多少？

这个数列的首项。

由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.

【点评】通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：

如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。

【探究】

引导学生动手画图研究完成以下探究：

⑴在直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象。

这个图象有什么特点？

⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？

据此说一说等差数列与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。

【分析】⑴n为正整数，当n取1，2，3，……时，对应的可以利用通项公式求出。

经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；

⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。

于是可以得出结论：

等差数列的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。

该处还可以引导学生从等差数列中的p的几何意义去探究。

四、思悟小结：

知识线：

（1）等差数列的概念；

（2）等差数列的通项公式；

（3）等差中项的概念。

思想方法线：

（1）公式法或定义法；

（2）建模思想方法；

（3）函数的思想方法。

题目线：

（1）根据等差数列的通项公式，解决相关的基本问题；

（2）判断一个数列是否为等差数列；

（3）关于等差数列的实际问题。

五、针对训练巩固提高：

1、等差数列的相邻四项是a+1,a+3,b,a+b,那么a,b的值分别是（）

A.2,7B.1,6C.0,5D.无法确定

2、若，，成等差数列，则x得值为（）

A．7或-3B.C.D.4

3、

（1）求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项

（2）101是不是等差数列2，9，16，…的项？

4、

（1）在等差数列｛an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.

（2）.在等差数列｛an｝中，已知a3=9,a9=3,求a12

5、一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？

6、已知无穷{an}中,首项为a1，公差为d,其中

（1）数列中，第n项与第m项有什么关系？

（2）若m+n=p+q，则数列中的第m，n，p，q项有什么关系？

7、已知一个无穷等差数列的首项为a1，公差为d：

（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？

如果是，它的首项和公差分别是多少？

（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？

（3）取出数列中所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列呢？

你能根据得到的结论作出一个猜想吗？

8、已知{an}是等差数列

（1）是否成立？

呢？

为什么？

（2）是否成立？

据此你能得出什么结论？

是否成立？