版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形41任意角弧度制及任意角的三角函数教师用书文新人教版文档格式.docx
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|α|·
r2.
3．任意角的三角函数
任意角α的终边与单位圆交于点P（x，y）时，sinα＝y，cosα＝x，tanα＝
（x≠0）．
三个三角函数的初步性质如下表：
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
sinα
R
＋
－
cosα
tanα
{α|α≠kπ＋
，k∈Z}
4.三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1,0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.
三角函数线
有向线段MP为正弦线；
有向线段OM为余弦线；
有向线段AT为正切线.
【知识拓展】
1．三角函数值的符号规律
三角函数值在各象限内的符号：
一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．任意角的三角函数的定义（推广）
设P（x，y）是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝
，cosα＝
，tanα＝
【思考辨析】
判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×
”）
（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．（ ×
）
（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．（ √ ）
（3）不相等的角终边一定不相同．（ ×
（4）终边相同的角的同一三角函数值相等．（ √ ）
（5）若α∈（0，
），则tanα>
α>
sinα.（ √ ）
（6）若α为第一象限角，则sinα＋cosα>
1.（ √ ）
1．角－870°
的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案 C
解析 由－870°
＝－1080°
＋210°
，知－870°
角和210°
角终边相同，在第三象限．
2．（教材改编）已知角α的终边与单位圆的交点为M（
，y），则sinα等于（ ）
A.
B．±
C.
D．±
答案 B
解析 由题意知|r|2＝（
）2＋y2＝1，
所以y＝±
由三角函数定义知sinα＝y＝±
3．（2016·
潍坊二模）集合{α|kπ＋
≤α≤kπ＋
，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
解析 当k＝2n（n∈Z）时，2nπ＋
≤α≤2nπ＋
，此时α表示的范围与
≤α≤
表示的范围一样；
当k＝2n＋1（n∈Z）时，2nπ＋π＋
≤α≤2nπ＋π＋
，此时α表示的范围与π＋
≤α≤π＋
表示的范围一样，故选C.
4．已知在半径为120mm的圆上，有一段弧长是144mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________rad.
答案 1.2
解析 由题意知α＝
＝1.2rad.
5．函数y＝
的定义域为________．
答案
（k∈Z）
解析 ∵2cosx－1≥0，
∴cosx≥
由三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图阴影所示）．
∴x∈
（k∈Z）．
题型一 角及其表示
例1
（1）若α＝k·
＋45°
（k∈Z），则α在（ ）
A．第一或第三象限B．第一或第二象限
C．第二或第四象限D．第三或第四象限
（2）已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括边界），则角α用集合可表示为________________．
答案
（1）A
（2）（2kπ＋
，2kπ＋
π）（k∈Z）
解析
（1）当k＝2n（n∈Z）时，α＝2n·
＝n·
，α为第一象限角；
当k＝2n＋1（n∈Z）时，α＝（2n＋1）·
＋225°
，α为第三象限角．
所以α为第一或第三象限角．故选A.
（2）在[0,2π）内，终边落在阴影部分角的集合为
，
∴所求角的集合为
思维升华
（1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．
（2）利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．
（1）终边在直线y＝
x上的角的集合是__________________．
（2）（2017·
广州调研）若角θ的终边与
角的终边相同，则在[0,2π]内终边与
角的终边相同的角的个数为________．
答案
（1）{α|α＝
＋kπ，k∈Z}
（2）3
解析
（1）在（0，π）内终边在直线y＝
x上的角为
∴终边在直线y＝
x上的角的集合为{α|α＝
＋kπ，k∈Z}．
（2）∵θ＝
＋2kπ（k∈Z），
∴
（k∈Z），
依题意0≤
≤2π，k∈Z，∴－
≤k≤
∴k＝0,1,2，即在[0,2π]内与
角的终边相同的角为
共三个．
题型二 弧度制
例2
（1）（2016·
成都模拟）若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
解析 设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，∴正方形边长为
r，∴圆心角的弧度数是
（2）已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.
①若α＝100°
，r＝2，求扇形的面积；
②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
解 ①S＝
αr2＝
×
π×
4＝
π.
②由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r，
l·
r＝
（20－2r）·
r＝－（r－5）2＋25，
当r＝5时，S的最大值为25.
当r＝5时，l＝20－2×
5＝10，α＝
＝2（rad）．
即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2rad.
思维升华 应用弧度制解决问题的方法
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
（1）将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是（ ）
B.
C．－
D．－
（2）若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）
C．3D.
答案
（1）C
（2）D
解析
（1）将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确；
又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的
即为－
2π＝－
（2）如图，
等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝
作OM⊥AB，垂足为M，
在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝
∴AM＝
r，AB＝
r，
∴l＝
由弧长公式得α＝
题型三 三角函数的概念
命题点1 三角函数定义的应用
例3
（1）（2016·
广州模拟）若角θ的终边经过点P（－
，m）（m≠0）且sinθ＝
m，则cosθ的值为________．
（2）点P从（1,0）出发，沿单位圆逆时针方向运动
弧长到达Q点，则Q点的坐标为（ ）
D.
答案
（1）－
（2）A
解析
（1）由题意知r＝
∴sinθ＝
m，
∵m≠0，∴m＝±
，∴r＝
＝2
∴cosθ＝
＝－
（2）由三角函数定义可知Q点的坐标（x，y）满足
x＝cos
，y＝sin
∴Q点的坐标为（－
）．
命题点2 三角函数线
例4 函数y＝lg（2sinx－1）＋
的定义域为__________________．
答案 [2kπ＋
）（k∈Z）
解析 要使原函数有意义，必须有
即
如图，
在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为[2kπ＋
）（k∈Z）．
思维升华
（1）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；
已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．
（2）利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．
（1）已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且cosα≤0，sinα>
0.则实数a的取值范围是（ ）
A．（－2,3]B．（－2,3）
C．[－2,3）D．[－2,3]
（2）满足cosα≤－
的角α的集合为________．
答案
（1）A
（2）{α|2kπ＋
π≤α≤2kπ＋
π，k∈Z}
解析
（1）∵cosα≤0，sinα>
0，
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
∴－2<
a≤3.
（2）作直线x＝－
交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围，
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋
π，k∈Z}．
6．数形结合思想在三角函数中的应用
典例
（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C（2,1）时，
的坐标为________．
合肥调研）函数y＝lg（3－4sin2x）的定义域为________．
思想方法指导 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集．
解析
（1）如图所示，
过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧
＝2，即圆心角∠PCA＝2，
则∠PCB＝2－
，所以PB＝sin（2－
）＝－cos2，
CB＝cos（2－
）＝sin2，
所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，
所以
＝（2－sin2,1－cos2）．
（2）∵3－4sin2x＞0，
∴sin2x＜
∴－
＜sinx＜
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图阴影部分所示
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