初中数学一题多解题.docx
《初中数学一题多解题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中数学一题多解题.docx(43页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
初中数学一题多解题
初中数学一题多解题
例题一、两个连续奇数的积是323,求出这两个数
方法一、
设较小的奇数为x,另外一个就是x+2
x(x+2)=323
解方程得:
x1=17,x2=-19
所以,这两个奇数分别是:
17、19,或者-17,-19
方法二、
设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x
则有:
x-323/x=2
解方程得:
x1=19,x2=-17
同样可以得出这两个奇数分别是:
17、19,或者-17,-19
方法三、
设x为任意整数,则这两个连续奇数分别为:
2x-1,2x+1
(2x-1)(2x+1)=323
即4x^2-1=323
x^2=81
x1=9,x2=-9
2x1-1=17,2x1+1=19
2x2-1=-19,2x2+1=-17
所以,这两个奇数分别是:
17、19,或者-17,-19
方法四、
设两个连续奇数为x-1,x+1
则有x^2-1=323
x^2=324=4*81
x1=18,x2=-18
x1-1=17,x1+1=19
x2-1=-19,x2+1=-17
所以,这两个奇数分别是:
17、19,或者-17,-19
例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋,共用去9.25元;如果买2个鸡蛋,4个鸭蛋,3个鹌鹑蛋,则共用去3.20元,试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个,共需多少钱?
解:
设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元,则根据题意,得
分析:
此方程组是三元一次方程组,由于只有两个三元一次方程,因而要分别求出x、y、z的值是不可能的,但注意到所求的是的代数和,因此,我们可通过变形变换得到多种解法。
1.凑整法
解1:
,得
,得
答:
只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个,共需1.05元(下面解法后的答均省略)
解2:
原方程组可变形为
解之得:
2.主元法
解3:
视x、y为主元,视z为常数,解<1>、<2>
得,
解4:
视y、z为主元,视x为常数,解<1>、<2>
得
解5:
视z、x为主元,视y为常数,解<1>、<2>
得
3.“消元”法
解6:
令,则原方程组可化为
解7:
令,则原方程组可化为
解8:
令,则原方程组可化为
4.参数法
解9:
设,则
,得
,得
由<4>、<5>得
即
5.待定系数法
解10.设
则比较两边对应项系数,得
将其代入<1>中,得
附练习题
1.有大小两种货车,2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨;5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。
求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?
(答案:
24.5吨)
2.有甲、乙、丙三种货物,若购甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元;若购甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元。
问若购甲、乙、丙各1件共需多少元?
(答案:
1.05元)
平面几何
在完成一个数学题的解答时,有必要对该题的内容、形式、条件、结论,做进一步的探讨,以真正掌握该题所反映的问题的实质。
如果能对一个普通的数学题进行一题多变,从变中总结解题方法;从变中发现解题规律,从变中发现“不变”,必将使人受益匪浅。
“一题多变”的常用方法有:
1、变换命题的条件与结论;2、保留条件,深化结论;
3、减弱条件,加强结论;4、探讨命题的推广;5、考查命题的特例;
6、生根伸枝,图形变换;7、接力赛,一变再变;8、解法的多变等。
19、(增加题1的条件)AE平分∠BAC交BC于E,
求证:
CE:
EB=CD:
CB
20、(增加题1的条件)CE平分∠BCD,AF平分∠BAC交BC于F
求证:
(1)BF·CE=BE·DF
(2)AE⊥CF
(3)设AE与CD交于Q,则FQ‖BC
21、已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,以CD为直径的圆交AC、BC于E、F,
求证:
CE:
BC=CF:
AC(注意本题和16题有无联系)
22、已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,以AD为直径的圆交AC于E,以BD为直径的圆交BC于F,
求证:
EF是⊙O1和⊙O2的一条外公切线
23、已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,作以AC为直径的圆O1,和以CD为弦的圆O2,
求证:
点A到圆O2的切线长和AC相等(AT=AC)
24、已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,
E为ACD的中点,连ED并延长交CB的延长线于F,
求证:
DF:
CF=BC:
AC
25、如图,⊙O1与⊙O2外切与点D, 内公切线DO交外公切线EF于点O,
求证:
OD是两圆半径的比例中项。
题14解答:
因为CD^2=AD·DB
AC^2=AD·AB
BC^2=BD·AB
所以1/AC^2+1/BC^2
=1/(AD·AB)+1/(BD·AB)
=(AD+DB)/(AD·BD·AB)
=AB/AD·BD·AB
=1/AD·BD
=1/CD^2
15题解答:
因为M为AB的中点,所以AM=MB,AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DM
AC^2-BC^2=AD*AB-DB*AB
=(AD-DB)AB
=2DM*AB
26、(在19题基础上增加一条平行线)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F,FG‖AB交BC于点G,
求证:
CE=BG
27、(在19题基础上增加一条平行线)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F,FG‖BC交AB于点G,连结EG,
求证:
四边形CEGF是菱形
28、(对19题增加一个结论)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F,
求证:
CE=CF
29、(在23题中去掉一个圆)已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,作以AC为直径的圆O1,
求证:
过点D的圆O1的切线平分BC
30、(在19题中增加一个圆)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,AE平分∠BAC交BC于E,交CD于F,
求证:
⊙CED平分线段AF
31、(在题1中增加一个条件)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,∠A=30度,
求证:
BD=AB/4
(沪科版八年级数学第117页第3题)
32、(在18题基础上增加一条直线)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,作∠BCE=∠BCD
P为AC上任意一点,直线PQ交CD于Q,交CB于M,交CE于N
求证:
PQ/PN=QM/MN
32题证明:
作NS‖CD交直线AC与点S,
则PQ/PN=CQ/SN
又∠BCE=∠BCD
∴QM/MN=CQ/CN(三角形内角平分线性质定理)
∠BCE+∠NCS=∠BCD+∠ACD
NS‖CD,∴∠NSC=∠ACD
∴∠NSC=∠NCS
∴SN=CN
∴PQ/PN=QM/MN
题33
在“题一中”,延长CB到E,使EB=CB,连结AE、DE,
求证:
DE·AB=AE·BE
题33证明
CB^2=BD·AB
因EB=CB
∴EB^2=BD·AB
∴EB:
BD=AB:
BE
又∠EBD=∠ABE
∴△EBD∽△ABE
∴EB:
AB=DE:
AE
∴DE·AB=AE·BE
题34
(在19题基础上增加一条垂线)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,
AE平分CD于F,EG⊥AB交AB于点G,
求证:
EG^2=BE·EC
证明:
延长AC、GE,设交点为H,
∴△EBG∽△EHC
∴EB:
EH=EG:
EC
∴EH·EG=BE·EC
又HG‖CD,CF=FD
∴EH=EG
∴EG^2=BE·EC
题35(在题19中增加点F)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,
AE平分∠BCA交BC于点E,交CD于F,
求证:
2CF·FD=AF·EF
题36、(在题16中,减弱条件,删除∠ACB=90度这个条件)
已知,△ABC中,CD⊥AB,D为垂足,DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,
求证:
CE/BC=CF/AC
题37
(在题17中,删除∠ACB=90度和CD⊥AB,D为垂足这两个条件,增加D是AB上一点,满足∠ACD=∠ABC)
已知,△ABC中,D是AB上一点,满足∠ACD=∠ABC,又CE平分∠BCD
求证:
AE^2=AD·AB
题38
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,PC为⊙ABC的切线
求证:
PA/AD=PB/BD
题39
(在题19中点E“该为E为BC上任意一点”)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,
E为BC上任意一点,连结AE,CF⊥AE,F为垂足,连结DF,
求证:
△ADF∽△AEB
题40:
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足
求证:
S⊙ADC:
S⊙BDC=AD:
DB
题41
已知,如图,△ABC中,CD⊥AB,D为垂足,且AD/CD=CD/BD,
求∠ACB的度数。
题42
已知,CD是△ABC的AB边上的高,D为垂足,且AD/CD=CD/BD,
则∠ACB一定是90度吗?
为什么?
题43:
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,△ADC的内切圆⊙O1,
△BDC的内切圆⊙O2,
求证:
S⊙O1:
S⊙O2=AD:
DB
题44:
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,△ADC的内切圆⊙O1的半径R1,△BDC的内切圆⊙O2的半径R2,△ABC的内切圆⊙O的半径R,求证:
R1+R2+R=CD
题45、
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,作以AC为直径的圆O1,和以BD为直径的圆O2,设O1和O2在△ABC内交于P
求证:
△PAD的面积和△PBC的面积相等
题45解:
∠CAP=∠CDP=∠DBP(圆周角、弦切角)
∴Rt△APC∽Rt△BPD
∴AP·PD=BP·PC
又∠APD和∠CPB互补(∠APC+∠BPD=180度)
S△PAD=1/2·AP·PD·sin∠APD
S△PBD=1/2·BP·PC·sin∠CPB
∴S△PAD=S△PBD
题46(在题38的基础上变一下)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,PC为⊙ABC的切线,又CE平分∠ACB交⊙ABC与E,交AB与D, 若PA=5,PC=10,
求 CD·CE的值
题47
在题46中,求sin∠PCA
题48(由题19而变)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,
AE平分∠ACB交BC于E,EG⊥AB交AB于点G,
求证:
(1)AC=AG
(2)、AG^2=AD·AB
(3)、G在∠DCB的平分线上
(4)、FG‖BC
(5)、四边形CEFG是菱形
题49
题49解答:
题目50(题33再变)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,延长CB到E,使EB=