中考数学复习难题突破专题四特殊三角形存在性问题文档格式.docx

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解题方法点析

对于等腰三角形的分类应分三种情况．可以设一个未知数，然后用这个未知数分别表示出三角形的三边，再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况．特别注意求出的值需检验能否构成三角形．

类型2　直角三角形、全等三角形存在性问题

图Z4－2

2如图Z4－2，已知直线y＝kx－6与抛物线y＝ax2＋bx＋c相交于A，B两点，且点A（1，－4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．

（1）求抛物线对应的函数表达式．

（2）在

（1）中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？

若存在，求出点P的坐标；

（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．

（1）已知点A的坐标可确定直线AB对应的函数表达式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线对应的函数表达式设为________式，再代入________的坐标，依据________法可解．

（2）△ABQ为直角三角形，直角顶点没确定，故分别以________为直角顶点，进行分类讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解或者利用勾股定理列方程求解．

本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式，利用方程、分类讨论和数形结合等思想解题．

专题训练

1．如图Z4－3，点O（0，0），A（2，2），若存在点P，使△APO为等腰直角三角形，则点P的个数为________．

图Z4－3

2．[2019·

湖州]如图Z4－4，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx（k>

0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连结AC.若△ABC是等腰三角形，则k的值是________．

图Z4－4

3．如图Z4－5所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），点B（2，－3）．试问坐标轴上是否存在一点P，使得△ABP为直角三角形？

图Z4－5

4．[2019·

张家界]如图Z4－6，已知抛物线C1的顶点坐标为A（－1，4），与y轴的交点为D（0，3）．

（1）求C1的解析式；

（2）若直线l1：

y＝x＋m与C1仅有唯一的交点，求m的值；

（3）若将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，平行于x轴的直线记作l2：

y＝n.试结合图象回答：

当n为何值时，l2与C1和C2共有：

①两个交点；

②三个交点；

③四个交点；

（4）若将C2与x轴正半轴的交点记作B，试在x轴上求点P，使得△PAB为等腰三角形．

图Z4－6

5.[2019·

攀枝花]如图Z4－7，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值．

（3）点D为抛物线对称轴上一点．

①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；

②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．

图Z4－7

6．如图Z4－8，抛物线y＝ax2－2ax＋c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）．

（1）求该抛物线对应的函数表达式．

（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连结CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标．

（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：

是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？

若存在，请求出点P的坐标；

图Z4－8

参考答案

例1　【例题分层分析】

（1）令一次函数表达式中的x或y为0，即可求出图象与y轴或x轴的交点坐标．

（2）求抛物线对应的函数表达式一般有三种方法：

一般式法、顶点式法和交点式法．本题利用一般式法或交点式法都比较简单．

（3）①x＝1　（1，a）

②三　AQ＝BQ，AB＝BQ，AQ＝AB

解：

（1）∵直线y＝3x＋3，

∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝－1，

∴点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（0，3）．

（2）设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，由题意，得解得

∴抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.

（3）∵抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3，配方，得y＝－（x－1）2＋4，

∴抛物线的对称轴为直线x＝1，设Q（1，a）．

①当AQ＝BQ时，如图①，设抛物线的对称轴交x轴于点D，过点B作BF⊥DQ于点F.

由勾股定理，得

BQ＝＝，

AQ＝＝，

得＝，解得a＝1，

∴点Q的坐标为（1，1）．

②当AB＝BQ时，如图②，

由勾股定理，得＝，

解得a＝0或6，

当点Q的坐标为（1，6）时，其在直线AB上，A，B，Q三点共线，舍去，∴点Q的坐标是（1，0）．

③当AQ＝AB时，如图③，

由勾股定理，得＝，解得a＝±

，此时点Q的坐标是（1，）或（1，－）．

综上所述，存在符合条件的点Q，点Q的坐标为（1，1）或（1，0）或（1，）或（1，－）．

例2　【例题分层分析】

（1）顶点　点B　待定系数　

（2）点A，B，Q

（1）把（1，－4）代入y＝kx－6，得k＝2，

∴直线AB对应的函数表达式为y＝2x－6.

令y＝0，解得x＝3，∴点B的坐标是（3，0）．

∵点A为抛物线的顶点，

∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x－1）2－4，

把（3，0）代入，得4a－4＝0，

解得a＝1，

∴抛物线对应的函数表达式为y＝（x－1）2－4＝x2－2x－3.

（2）存在．∵OB＝OC＝3，OP＝OP，

∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，

此时OP平分第二象限，

即直线PO对应的函数表达式为y＝－x.

设P（m，－m），则－m＝m2－2m－3，

解得m＝，

∴点P的坐标为.

（3）如图，①当∠Q1AB＝90°

时，△DAQ1∽△DOB，

∴＝，即＝，

∴DQ1＝，∴OQ1＝，

即点Q1的坐标为；

②当∠Q2BA＝90°

时，△BOQ2∽△DOB，

∴OQ2＝，即点Q2的坐标为；

③当∠AQ3B＝90°

时，过点A作AE⊥y轴于点E，

则△BOQ3∽△Q3EA，

∴OQ32－4OQ3＋3＝0，∴OQ3＝1或3，

即点Q3的坐标为（0，－1）或（0，－3）．

综上，点Q的坐标为或或（0，－1）或（0，－3）．

专题训练

1．6

2.或　[解析]考查反比例函数中系数k的几何意义及等腰三角形的性质．

用B，A两点的坐标来表示C点坐标，得到BC的长度，然后分三种情况讨论k值．

设B（a，），A（b，），∴C（a，），ka＝，kb＝，∴a2＝，b2＝.又∵BD⊥x轴，∴BC＝.

①当AB＝BC时，

AB＝，

∴（a－b）＝，∴（－）＝，

∴k＝.

②当AC＝BC时，AC＝，

∴（1＋）（－）2＝，∴k＝.

③当AB＝AC时，∴1＋＝1＋k2，∴k＝0（舍去）．综上所述，k＝或.

3．解：

①若∠BAP＝90°

，易得P1（0，2）．

②若∠ABP＝90°

，易得P2（0，－3）．

③若∠BPA＝90°

，如图，以AB为直径画⊙O′与x轴、y轴分别交于点P3，P4，P5，P6，AB与x轴交于点C，过点O′作O′D⊥y轴于D点．

在Rt△DO′P5中易知O′D＝2，O′P5＝，则P5D＝＝，

OP5＝P5D－OD＝－＝1，则P5（0，1）．易知P5D＝P6D，则P6（0，－2）．连结O′P3，O′P4，

易求出P3（2－，0），P4（2＋，0）．

综上所述，存在点P，使得△ABP为直角三角形，坐标为P1（0，2），P2（0，－3），P3（2－，0），

P4（2＋，0），P5（0，1），P6（0，－2）．

4．解：

（1）∵抛物线C1的顶点坐标为A（－1，4），

∴设C1的解析式为y＝a（x＋1）2＋4，

把D（0，3）代入得3＝a（0＋1）2＋4，解得a＝－1，

∴C1的解析式为y＝－（x＋1）2＋4＝－x2－2x＋3.

（2）由方程组

得x2＋3x＋m－3＝0，

Δ＝32－4×

1×

（m－3）＝－4m＋21＝0，∴m＝.

（3）抛物线C2的顶点坐标为（1，4），l2与C1和C2共有：

①两个交点，这时l2过抛物线的顶点，∴n＝4；

②三个交点，这时l2过两条抛物线的交点D，∴n＝3；

③四个交点，这时l2在抛物线的顶点与点D之间或在点D的下方，∴3<

n<

4或n<

3.

（4）根据抛物线的对称性可知，C2的解析式为y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3，与x轴正半轴的交点B的坐标为（3，0），

又A（－1，4），∴AB＝＝4.

①若AP＝AB，则PO＝4＋1＝5，这时点P的坐标为（－5，0）；

②若BA＝BP，若点P在点B的左侧，则OP＝BP－BO＝4－3，这时点P的坐标为（3－4，0），若点P在点B的右侧，则OP＝BP＋BO＝4＋3，这时点P的坐标为（3＋4，0）；

③若PA＝PB，这时点P是线段AB的垂直平分线与x轴的交点，显然PA＝PB＝4，∴P（－1，0）．

综上所述，点P的坐标为（－5，0）或（3－4，0）或（3＋4，0）或（－1，0）．

5．解：

（1）由题意得解得

∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3.

（2）由题易知OC＝OB＝3，∴∠OCB＝45°

.

同理可知∠OFE＝45°

，

∴△CEF为等腰直角三角形．

以BC为对称轴将△FCE对称得到△F′CE，作PH⊥CF′于H点，如图①，则PE＋EF＝PF′＝PH.

又PH＝yC－yP＝3－yP，

∴当yP最小时，PE＋EF取得最大值，

∵抛物线的顶点坐标为（2，－1），

∴当yP＝－1时，（PE＋EF）max＝×

（3＋1）＝4.

（3）①由

（1）知抛物线的对称轴为直线x＝2，设D（2，n），如图②.

当△BCD是以BC为直角边的直角三角形且D在C的上方D1位置时，由勾股定理得CD2＋BC2＝BD2，即（2－0）2＋（n－3）2＋（3）2＝（3－2）2＋（0－n）2，解得n＝5；

当△BCD是以BC为直角边的直角三角形且D在C的下方D2位置时，由勾股定理得BD2＋B