数学建模期末论文猎狗追兔问题Word格式文档下载.docx
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猎狗追兔问题
一、问题重述
如图1所示，有一只猎狗在B点位置，发现了一只兔子在正东北方距离它250m的地方O处，此时兔子开始以8m/s的速度正向正西北方向，距离为150m的洞口A全速跑去.假设猎狗在追赶兔子的时候，始终朝着兔子的方向全速奔跑。
请回答下面的问题：
⑴猎狗能追上兔子的最小速度是多少？
⑵在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程
是少？
⑶假设猎狗在追赶过程中，当猎狗与兔子之间的
距离为30m时，兔子由于害怕导致奔跑速度每秒减半，
而狗却由于兴奋奔跑速度每秒增加0.1倍，在这种情
况下回答前面两个问题。
二、问题分析与假设
在猎狗追赶兔子的时候猎狗一直朝着兔子的方向追赶，所以可以建立平面直角坐标系，通过导数联立起猎狗运动位移，速度和兔子的运动状态。
1.假设兔子的运动是匀速的。
2.假设猎狗的运动轨迹是一条光滑并且一阶导数存在的曲线。
3.猎狗的运动时匀速或者匀变速的。
4.猎狗运动时总是朝向兔子。
三、模型的建立及求解
3.1符号规定
1.（x，y）：
猎狗或者兔子所在位置的坐标。
2.t：
从开始到问题结束经过的时间。
3.a:
猎狗奔跑的路程。
4.
B
A
N
O
W
S
E
v:
猎狗的奔跑速度。
3.2问题一的模型建立与求解
猎狗能够抓到兔子的必要条件：
猎狗的运动轨迹在OA要有交点
以OA为y轴，以OB为x轴建立坐标系，则由图有O（0，0），A（0,150）,B（250，0），兔子的初始位置0点,而猎狗初始位置是B点，t（s）后猎狗到达了C（x，y），而兔子到达了D（0，8t），则有CD的连线是猎狗运动轨迹的一条切线，由导数的几何意义有：
三式联立消去t，得到;
若猎狗可以追上兔子则有当兔子在OA,猎狗在OB之间运动时此方程有解，设：
得到：
两式联立相加得到：
1.如果q=1即v=8m/s得到：
所以此情况无交点，所以v=8m/s猎狗无法追上兔子；
2.如果q<
1即v>
8m/s得到：
此情况有交点，所以有可能能够追上兔子，如果要追上兔子需要y<
=150;
解得到：
即所以这种情况下能够追上的最小速度是.
3.如果q>
1利用上式得到，所以这种情况不能追上兔子。
综上讨论，猎狗可以追上兔子的最小速度为。
3.3问题二的模型建立与求解
如果猎狗可以追上兔子那么猎狗的轨迹和兔子的轨迹必相交与一点，此时兔子的路程，所用放的时间，那么猎狗的的路程a=tv;
带入数值解得a=。
3.4模型三的建立与求解
模型三利用matlab试验，得到代码如下：
a=8;
dogxa=[];
dogya=[];
rabbitxa=[];
rabbitya=[];
d=1;
dogx=250;
dogy=0;
rabbitx=0;
rabbity=0;
t=0;
dt=0.001;
forb=0:
100
dogx=250;
dogy=0;
rabbitx=0;
rabbity=0;
t=0;
c=b;
a=8;
while（sqrt（（dogx-rabbitx）^2+（dogy-rabbity）^2）>
d&
rabbity<
150）
if（sqrt（（dogx-rabbitx）^2+（dogy-rabbity）^2）<
=30）
b=b*1.1^dt;
a=a*0.5^dt;
end
t=t+dt;
dogx=dogx+b*dt*（rabbitx-dogx）/sqrt（（dogx-rabbitx）^2+（dogy-rabbity）^2）;
dogy=dogy+b*dt*（rabbity-dogy）/sqrt（（dogx-rabbitx）^2+（dogy-rabbity）^2）;
rabbitx=rabbitx+0;
rabbity=rabbity+a*dt;
if（rabbity<
=150）
b=c;
break;
end
fprintf（'
猎狗的最小速度是：
:
%2f'
b）;
b=16;
dogxb=[];
dogyb=[];
rabbitxb=[];
rabbityb=[];
s=0;
while（sqrt（（dogx-rabbitx）^2+（dogy-rabbity）^2）>
d）
dogx0=dogx;
dogy0=dogy;
dogx=dogx+b*dt*（rabbitx-dogx）/sqrt（（dogx-rabbitx）^2+（dogy-rabbity）^2）
dogy=dogy+b*dt*（rabbity-dogy）/sqrt（（dogx-rabbitx）^2+（dogy-rabbity）^2）
dogxb=[dogxb,dogx];
dogyb=[dogyb,dogy];
rabbitxb=[rabbitxb,rabbitx];
rabbityb=[rabbityb,rabbity];
s=s+sqrt（（dogx0-dogx）^2+（dogy0-dogy）^2）;
最短路程是：
%1f'
s）;
得到猎狗的最小速度是：
16m/s
猎狗此时的路程是：
312.5m
四、模型的检验
4.1问题一的模型检验
使用matlab进行计算机模拟实验检验模型的可行性：
问题一的检验：
h=250;
v=16;
d=0.01;
dt=0.1;
dogx=h;
while（（sqrt（dogx-rabbitx）^2+（dogy-rabbity）^2）>
&
t<
=19.3）
t=dt+t;
dogx=dogx-v*dt*dogx/sqrt（dogx^2+（a*t-dogy）^2）;
dogy=dogy+v*dt*（a*t-dogy）/sqrt（dogx^2+（a*t-dogy）^2）;
rabbity=a*t;
rabbitxb=zeros（length（rabbityb））;
plot（dogxb,dogyb,rabbitxb,rabbityb,'
*'
）
4.2问题二的模型检验
n=250;
d=0.1;
dx=n;
dy=0;
rx=0;
ry=0;
while（sqrt（（dx-rx）^2+（dy-ry）^2）>
19.3）
plot（dx,dy,rx,ry,'
y*'
pause（0.00001）
holdon
t=dt+t;
dx=dx-v*dt*dx/sqrt（dx^2+（a*t-dy）^2）;
dy=dy+v*dt*（a*t-dy）/sqrt（dx^2+（a*t-dy）^2）;
ry=a*t;
plot（dx,dy,rx,ry,'
五、模型的评价
5.1模型的优缺点
模型的优点。
（1）模型的使用围比较广泛，可以类推到其他许多模型中。
（2）模型具有很高的使用价值。
（3）模型对题目中的问题解决合适，模型使用得当。
模型的缺点。
（4）题目中增加了一些理想化的假设，致使模型的波动比较大。
（5）不同兔子和猎狗的情况会有差异。
5.2模型的改进
可使用仿生学原理，建立我们更加准确的模型。
六、参考文献
[1]书来，MATLAB编程与最优化问题，：
电子工业，2013。
[2]邬学军，周凯，宋军全，数学建模竞赛辅导教程，，大学，2009。
[3]志林，欧宜贵，数学建模及其典型案例分析，，化学工业，2006.
[4]Matlab入门教程,wenku.baidu./view/daf8592fff00bed5b9f31d5d.htl
2014.06
附录1：
Matlab的截图
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