高考一轮江苏数学理科 第10章 第56课 几何概型Word文件下载.docx

高考一轮江苏数学理科 第10章 第56课 几何概型Word文件下载.docx

《高考一轮江苏数学理科 第10章 第56课 几何概型Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考一轮江苏数学理科 第10章 第56课 几何概型Word文件下载.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；

（2）等可能性：

每个结果的发生具有等可能性．

4．随机模拟方法

（1）使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．

（2）用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；

②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；

③计算频率fn（A）＝作为所求概率的近似值．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（　　）

（2）从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是.（　　）

（3）概率为0的事件一定是不可能事件．（　　）

（4）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）×

　（3）×

　（4）√

2．（教材改编）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是________．（填序号）

图561

①　[P（①）＝，P（②）＝，P（③）＝，P（④）＝，

∴P（①）>

P（③）＝P（④）>

P（②）．]

3．（2016·

全国卷Ⅱ改编）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为________．

[如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝.]

4．如图562所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．

图562

0．18　[由题意知，

＝＝0.18.

∵S正＝1，∴S阴＝0.18.]

5．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．

1－　[如图所示，区域D为正方形OABC及其内部，且区域D的面积S＝4.又阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积S阴＝4－π，

∴所求事件的概率P＝＝1－.]

与长度（角度）有关的几何概型

（1）（2016·

全国卷Ⅰ改编）某公司的班车在7：

30,8：

00,8：

30发车，小明在7：

50至8：

30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．

图563

（2）如图563所示，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，在∠DAB内作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．

（1）　

（2）　[

（1）如图，7：

30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：

00之间或8：

20至8：

30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝＝.

（2）以A为圆心，以AD＝1为半径作圆弧交AC，AP，AB分别为C′，P′，B′.

依题意，点P′在上任何位置是等可能的，且射线AP与线段BC有公共点，则事件“点P′在上发生”．

又在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝.

故所求事件的概率P＝＝＝.]

[规律方法]　1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．

2．

（1）第

（2）题易出现“以线段BD为测度”计算几何概型的概率，导致错求P＝.

（2）当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比．

[变式训练1]　

（1）设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连结，则弦长超过半径倍的概率是________.【导学号：

62172308】

（2）（2016·

山东高考）在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆（x－5）2＋y2＝9相交”发生的概率为________．

（1）　

（2）　[

（1）作等腰直角△AOC和△AMC，B为圆上任一点，则当点B在上运动时，弦长|AB|＞R，

∴P＝＝.

（2）由直线y＝kx与圆（x－5）2＋y2＝9相交，得<

3，

即16k2<

9，解得－<

k<

.

由几何概型的概率计算公式可知P＝＝.]

与面积有关的几何概型

角度1　与随机模拟相关的几何概型

　（2016·

全国卷Ⅱ改编）从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为________．

　[因为x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）都在正方形OABC内（包括边界），如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内（不包括扇形圆弧上的点所对应的数对），故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得＝，即＝，所以π＝.]

角度2　与线性规划交汇问题

　由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________．

[如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD，

易知C，S△BCD＝×

×

（2－1）＝，

S△OAB＝×

2×

2＝2，

故P＝＝＝.]

[规律方法]　1.与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合．

2．解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.

与体积有关的几何概型

　在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________.【导学号：

62172309】

1－　[设“点P到点O的距离大于1”为事件A.

则事件A发生时，点P位于以点O为球心，以1为半径的半球的外部．

∴V正方体＝23＝8，V半球＝π·

13×

＝π.

∴P（A）＝＝1－.]

[规律方法]　对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及事件的体积（事件空间），对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．

[变式训练2]　如图564，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥MABCD的体积小于的概率为________．

图564

　[设四棱锥MABCD的高为h，由于V正方体＝1.

则·

SABCD·

h＜，

又SABCD＝1，∴h＜，

即点M在正方体的下半部分，

∴所求概率P＝＝.]

[思想与方法]

1．古典概型与几何概型的区别在于：

前者基本事件的个数有限，后者基本事件的个数无限．

2．判断几何概型中的几何度量形式的方法

（1）当题干是双重变量问题，一般与面积有关系．

（2）当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：

若变量在线段上移动，则几何度量是长度；

若变量在平面区域（空间区域）内移动，则几何度量是面积（体积），即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域．

[易错与防范]

1．易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．

2．准确把握几何概型的“测度”是解题关键．

3．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．

课时分层训练（五十六）

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为________.

【导学号：

62172310】

　[在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1，

即－2≤X≤1的概率为P＝.]

2．如图565所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是________．

图565

3π　[设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·

32＝9π.

由几何概型的概率得＝，则S＝3π.]

3．若将一个质点随机投入如图566所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是________．

图566

　[设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P（A）＝＝＝.]

4．已知平面区域D＝{（x，y）|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y＝kx（k∈R）下方的概率为________.

62172311】

　[由题设知，区域D是以原点O为中心的正方形，直线y＝kx将其面积平分，如图，

所求概率为.]

5．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器（大小忽略不计），可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率为________．

　[屋子的体积为5×

4×

3＝60米3，

捕蝇器能捕捉到的空间体积为×

π×

3＝米3，

故苍蝇被捕捉的概率是＝.]

6．（2015·

山东高考改编）在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为________．

　[不等式－1≤log≤1可化为log2≤log≤log，即≤x＋≤2，解得0≤x≤，故由几何概型的概率公式得P＝＝.]

7．已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABC＜VSABC的概率为________.【导学号：

62172312】

　[当点P到底面ABC的距离小于时，

VPABC＜VSABC.

由几何概型知，所求概率为P＝1－3＝.]

8．在区间[0，π]上随机取一个实数x，使得sinx∈的概率为________．

　[由0≤sinx≤，且x∈[0，π]，

解得x∈∪.

故所求事件的概率P＝＝.]

9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；

若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；

否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率