4份高考数学浙江理科专用二轮专题复习精练突破练Word文档下载推荐.docx
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(1)求证:
AB∥GH;
(2)求二面角D-GH-E的余弦值.
(1)证明 因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,
所以EF∥AB,DC∥AB.所以EF∥DC.
又EF⊄平面PCD,DC⊂平面PCD,
所以EF∥平面PCD.
又EF⊂平面EFQ,平面EFQ∩平面PCD=GH,
所以EF∥GH.又EF∥AB,
所以AB∥GH.
(2)解 在△ABQ中,AQ=2BD,AD=DQ,
所以∠ABQ=90°
.
又PB⊥平面ABQ,
所以BA,BQ,BP两两垂直.
以B为坐标原点,分别以BA,BQ,BP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设BA=BQ=BP=2,则E(1,0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2).
所以=(-1,2,-1),=(0,2,-1),=(-1,-1,2),=(0,-1,2).
设平面EFQ的一个法向量为m=(x1,y1,z1),
由m·
=0,m·
=0,
得取y1=1,得m=(0,1,2).
设平面PDC的一个法向量为n=(x2,y2,z2),
由n·
=0,n·
得取z2=1,得n=(0,2,1),
所以cos〈m,n〉==.
因为二面角D-GH-E为钝角,
所以二面角D-GH-E的余弦值为-.
3.某企业为打入国际市场,决定从A,B两种产品中只选择一种进行投资生产,已知投资生产这两种产品的有关数据如表所示:
(单位:
万美元)
项目
类别
年固定成本
每件产品成本
每件产品销售价
每年最多可生产的件数
A产品
20
m
10
200
B产品
40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关,m为待定常数,其值由生产A产品的原材料价格决定,预计m∈[6,8].另外,年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.
(1)写出该厂分别投资生产A,B两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域;
(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)?
请你作出规划.
解
(1)由年销售量为x件,按利润的计算公式,得生产A,B两种产品的年利润y1,y2分别为
y1=10x-(20+mx)=(10-m)x-20(x∈N,0≤x≤200),
y2=18x-(8x+40)-0.05x2=-0.05x2+10x-40(x∈N,0≤x≤120).
(2)因为6≤m≤8,
所以10-m>
0,函数y1=(10-m)x-20是[0,200]上的增函数,
所以当x=200时,生产A产品有最大利润为(10-m)×
200-20=1980-200m(万美元).
又y2=-0.05(x-100)2+460(x∈N,0≤x≤120).
所以当x=100时,生产B产品有最大利润为460万美元.
因为y1max-y2max=1980-200m-460=
1520-200m
所以当6≤m<
7.6时,可投资生产A产品200件;
当m=7.6时,要生产A产品与生产B产品均可;
当7.6<
m≤8时,可投资生产B产品100件.
4.如图,点P(0,-1)是椭圆C1:
+=1(a>
b>
0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:
x2+y2=4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.
解
(1)由题意得
所以椭圆C1的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).
由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,
则直线l1的方程为y=kx-1.又圆C2:
x2+y2=4,
故点O到直线l1的距离d=,
所以|AB|=2=2.
又l2⊥l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0.
由
消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,故x0=-.
所以|PD|=.
设△ABD的面积为S,则S=|AB|·
|PD|
=,所以S=
≤=,
当且仅当k=±
时取等号.
所以所求直线l1的方程为y=±
x-1.
5.数列{an}满足:
a1+2a2+…+nan=4-,n∈N*.
(1)求a3的值;
(2)求数列{an}前n项和Tn;
(3)令b1=a1,bn=+an(n≥2),证明:
数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<
2+2lnn.
(1)解 a1=1,a1+2a2=2,a2=,a1+2a2+3a3=4-,a3=.
(2)解 n≥2时,a1+2a2+…+(n-1)an-1=4-,
与原式相减,得nan=,an=,n=1也符合,
Tn==2-.
(3)证明 n≥2时,
bn=+an=+an
故Sn=i=a1++a2++a3+…++an
=a1+a2+a3+…+an
=Tn
=<
2,
只需证明2<
2+2lnn,n∈N*.
对于任意自然数k∈N,
令x=-∈(-1,0)时,ln+<
0,
即<
ln(k+1)-lnk.
∴k=1时,<
ln2-ln1,
k=2时,<
ln3<
ln2.
…
k=n-1时,<
ln2-ln(n-1).
∴1+++…+<
1+(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+[lnn-ln(n-1)],
即1+++…+<
1+lnn,
所以n≥2时,2<
2+2lnn,
综上n∈N+时,Sn<
突破练
(二)
1.已知函数f(x)=sin+2cos2x-1(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知函数f(x)的图象经过点,b,a,c成等差数列,且·
=9,求a的值.
解 f(x)=sin+2cos2x-1=-cos2x+sin2x+cos2x=cos2x+sin2x=sin.
(1)最小正周期T==π,由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)由f(A)=sin=得
2A+=+2kπ或2A+=+2kπ(k∈Z),
即A=kπ或A=+kπ,
又A为△ABC的内角,所以A=.
又因为b,a,c成等差数列,所以2a=b+c.
∵·
=bccosA=bc=9,
∴bc=18,
∴cosA==-1=-1=-1.
∴a=3.
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°
,O为AC与BD的交点,E为PB上任意一点.
(1)证明:
平面EAC⊥平面PBD;
(2)若PD∥平面EAC,并且二面角B-AE-C的大小为45°
,求PD∶AD的值.
(1)证明 因为PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC,又ABCD是菱形,
∴BD⊥AC,又BD∩PD=D,故AC⊥平面PBD,又AC⊂平面EAC.
所以平面EAC⊥平面PBD.
(2)解 连接OE,因为PD∥平面EAC,所以PD∥OE,所以OE⊥平面ABCD,又O是BD的中点,故此时E为PB的中点,以点O为坐标原点,射线OA,OB,OE所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz.
设OB=m,OE=h,则OA=m,A,B(0,m,0),E(0,0,h),=(-m,m,0),=(0,-m,h),向量n1=(0,1,0)为平面AEC的一个法向量,设平面ABE的一个法向量n2=(x,y,z)
则n2·
=0,且n2·
即-mx+my=0且-my+hz=0.
取x=1,则y=,z=,
则n2=,
∴cos45°
=|cos〈n1,n2〉|===,
解得=,故PD∶AD=2h∶2m=h∶m=∶2.
3.已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数q的取值范围;
(2)是否存在常数t(t≥0),当x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间D,且区间D的长度为12-t(视区间[a,b]的长度为b-a).
解
(1)∵函数f(x)=x2-16x+q+3的对称轴是x=8,∴f(x)在区间[-1,1]上是减函数.
∵函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有即
∴-20≤q≤12.
(2)∵0≤t<
10,f(x)在区间[0,8]上是减函数,在区间[8,10]上是增函数,且对称轴是x=8.
①当0≤t≤6时,在区间[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小,
∴f(t)-f(8)=12-t,
即t2-15t+52=0,
解得t=,
∴t=;
②当6<
t≤8时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(8)最小,
∴f(10)-f(8)=12-t,解得t=8;
③当8<
t<
10时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(t)最小,
∴f(10)-f(t)=12-t,
即t2-17t+72=0,
解得t=8,9,
∴t=9.综上可知,存在常数t=,8,9满足条件.
4.已知椭圆+=1(a>0,b>0)的左焦点F为圆x2+y2+2x=0的圆心,且椭圆上的点到点F的距离最小值为-1.
(1)求椭圆方程;
(2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A,B,点M,证明:
M·
M为定值.
(1)解 化圆的标准方程为(x+1)2+y2=1,
则圆心为(-1,0),半径r=1,所以椭圆的半焦距c=1.
又椭圆上的点到点F的距离最小值为-1,所以a-c=-1,即a=.
故所求椭圆的方程为+y2=1.
(2)证明 ①当直线l与x轴垂直时,l的方程为x=-1.
可求得A,B.
此时,M·
M=·
=-.
②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),
由得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.
因为M·
=+y1y2
=x1x2+(x1+x2)+2+k(x1+1)·
k(x2+1)
=(1+k2)x1x2+(x1+x2)+k2+
=(1+k2)·
++k2+
=+=-2+=-.
所以,M·
M为定值,且定值为-.
5.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且对任意正整数n,点(an+1,Sn)在直线3x+2y-3=0上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在实数λ,使得数列为等差数列?
若存在,求出λ的值;
若不存在,则说明理由.
解
(1)由题意可得3an+1+2Sn-3=0,