高考数学文复习第1部分专题2 数列 点5 数列的通项与求和含答案Word文件下载.docx

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，构造新数列{bn}

，得bn＋1＝

bn＋

，接下来用待定系数法求解.

提炼3数列求和

数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂（拆）项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法、错位相减法是常用的两种方法．

[高考真题回访]

回访1　an与an＋1的关系

1．（2014·

全国卷Ⅱ）数列{an}满足an＋1＝

，a8＝2，则a1＝________.

　[∵an＋1＝

，

∴an＋1＝

＝1－

＝1－（1－an－2）＝an－2，

∴周期T＝（n＋1）－（n－2）＝3.

∴a8＝a3×

2＋2＝a2＝2.

而a2＝

，∴a1＝

.]

回访2　数列求和

2．（2012·

全国卷）数列{an}满足an＋1＋（－1）nan＝2n－1，则{an}的前60项和为（　　）

A．3690　B．3660　

C．1845　D．1830

D　[∵an＋1＋（－1）nan＝2n－1，

∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，

a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，

a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，

∴a1＋a2＋…＋a60＝（a1＋a2＋a3＋a4）＋（a5＋a6＋a7＋a8）＋…＋（a57＋a58＋a59＋a60）＝10＋26＋42＋…＋234

＝1830.]

3．（2013·

全国卷Ⅰ改编）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.则

（1）{an}的通项公式为__________；

（2）数列

的前n项和为__________．

（1）an＝2－n　

（2）

　[

（1）设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋

d.

由已知可得

解得

故{an}的通项公式为an＝2－n.

（2）由

（1）知

从而数列

的前n项和为

4．（2014·

全国卷Ⅰ改编）已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根，则

（1）an＝

n＋1　

（2）2－

　[

（1）方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，由题意得a2＝2，a4＝3.

设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝

从而a1＝

.

所以{an}的通项公式为an＝

n＋1.

（2）设

的前n项和为Sn，

由

（1）知

，则

Sn＝

＋…＋

两式相减得

－

所以Sn＝2－

热点题型1　数列中an与Sn的关系

数列中的an与Sn的关系

题型分析：

以数列中an与Sn间的递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，以及推理论证的能力．

【例1】

（1）（2017·

郑州模拟）设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.

1　121　[由

解得a1＝1，a2＝3，

当n≥2时，由已知可得：

an＋1＝2Sn＋1，①

an＝2Sn－1＋1，②

①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an.又a2＝3a1，

∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列．

∴Sn＝

（3n－1），∴S5＝121.]

（2）数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足

＝1（n≥2）．求数列{an}的通项公式．

【04024060】

[解]　由已知，当n≥2时，

＝1，

所以

＝1，2分

即

．4分

又S1＝a1＝1，

所以数列

是首项为1，公差为

的等差数列，6分

＝1＋

（n－1）＝

即Sn＝

．8分

所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝

＝－

．10分

因此an＝

12分

[方法指津]

给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：

一是利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为an的递推关系，再求其通项公式；

二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.

提醒：

在利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）求通项公式时，务必验证n＝1时的情形．

[变式训练1]

（1）已知数列{an}前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n，则Sn＝__________.

（2）已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且2Sn＋2＝3an（n∈N*），则an＝__________.

（1）n·

2n（n∈N*）　

（2）2×

3n－1（n∈N*）　[

（1）由Sn＝2an－2n得当n＝1时，S1＝a1＝2；

当n≥2时，Sn＝2（Sn－Sn－1）－2n，即

＝1，所以数列

是首项为1，公差为1的等差数列，则

＝n，Sn＝n·

2n（n≥2），当n＝1时，也符合上式，所以Sn＝n·

2n（n∈N*）．

（2）因为2Sn＋2＝3an，①

所以2Sn＋1＋2＝3an＋1，②

由②－①，得2Sn＋1－2Sn＝3an＋1－3an，所以2an＋1＝3an＋1－3an，即

＝3.

当n＝1时，2＋2S1＝3a1，所以a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，

所以an＝2×

3n－1（n∈N*）．]

热点题型2　裂项相消法求和

裂项相消法是指把数列中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于

或

（其中{an}为等差数列）等形式的数列求和．

【例2】　已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比数列，

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列

的前n项和为Tn，求证：

≤Tn<

[解]

（1）由已知及等差数列的性质得S5＝5a3，∴a3＝14，1分

又a2，a7，a22成等比数列，所以a

＝a2·

a22．2分

所以（a1＋6d）2＝（a1＋d）（a1＋21d）且d≠0，

解得a1＝

d，∴a1＝6，d＝4．4分

故数列{an}的通项公式为an＝4n＋2，n∈N*．6分

（2）证明：

由

（1）得Sn＝

＝2n2＋4n，

，8分

∴Tn＝

．10分

又Tn≥T1＝

．12分

裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an＝bn＋k－bn（k≥1，k∈N*）的形式，常见的裂项方式有：

（1）

；

（2）

（3）

（

）．

在裂项变形时，务必注意裂项前的系数．

[变式训练2]　（名师押题）已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.

（2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝

，求数列{bn}的前n项和Tn.

【04024061】

[解]

（1）由题设知a1·

a4＝a2·

a3＝8，2分

又a1＋a4＝9，可得

（舍去）4分

由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1．6分

（2）Sn＝

＝2n－1．8分

又bn＝

，10分

所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝

热点题型3　错位相减法求和

限于数列解答题的位置较为靠前，加上错位相减法的运算量相对较大，故在近5年中仅有1年对该命题点作了考查，但其仍是命题的热点之一，务必加强训练．

【例3】　设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）当d＞1时，记cn＝

，求数列{cn}的前n项和Tn.

[解]

（1）由题意有

2分

4分

故

6分

（2）由d＞1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝

，于是Tn＝1＋

，①

Tn＝

.　②8分

①－②可得

Tn＝2＋

＝3－

故Tn＝6－

运用错位相减法求和应注意：

一是判断模型，即判断数列{an}，{bn}中一个为等差数列，一个为等比数列；

二是错开位置，一般先乘公比，再把前n项和退后一个位置来书写，这样避免两式相减时看错列；

三是相减，相减时一定要注意式中最后一项的符号，考生常在此步出错，一定要细心．

为保证结果正确，可对得到的和取n＝1,2进行验证．

[变式训练3]　已知在公比大于1的等比数列{an}中，a2，a4是函数f（x）＝（x－2）（x－8）的两个零点．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn.

【04024062】

[解]

（1）因为a2，a4是函数f（x）＝（x－2）（x－8）的两个零点，且等比数列{an}的公比q大于1，所以a2＝2，a4＝8，2分

所以q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1（n∈N*）．6分

（2）由

（1）知2nan＝n×

2n，所以Sn＝1×

2＋2×

22＋…＋n×

2n，①7分

2Sn＝1×

22＋2×

23＋…＋（n－1）×

2n＋n×

2n＋1，②8分

由①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×

2n＋1＝

－n×

2n＋1，11分

所以Sn＝2＋（n－1）×

2n＋1（n∈N*）．12分