运筹学第四次作业排队论问题Word文件下载.docx
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。
则根据该模型运行指标的计算公式可得出：
①系统的平均服务强度为
；
②顾客到达后理科就能得到服务的概率，即维修站空闲，没有顾客的概率为
③系统的队长为
;
④系统的排队长
⑤系统的有效到达率为
⑥顾客逗留时间为
⑦系统满员的概率，即顾客被拒绝的概率为
利用LINGO软件来求解，记有关参数
，系统最大容量为N=2，顾客平均到达率为
，平均每个顾客的服务时间为
则相应程序如下：
MODEL:
sets:
num_i/1..2/:
P;
endsets
c=1;
N=2;
L=1;
T=0.8;
P0*L=（1/T）*p
（1）;
（L+1/T）*p
（1）=L*p0+c/T*p
（2）;
@for（num_i（i）|i#gt#1#and#i#lt#N:
（L+c/T）*p（i）=L*p（i-1）+c/T*p（i+1））;
L*p（N-1）=c/T*P（N）;
P0+@sum（num_i（i）|i#le#N:
P（i））=1;
Plost=p（N）;
Q=1-p（N）;
L_e=Q*L;
L_s=@sum（num_i（i）|i#le#N:
i*P（i））;
L_q=L_s-L_e*T;
W_s=L_s/L_e;
W_q=W_s-T;
end
运行结果如下表：
运行结果为：
P0=0.409836，Plost=0.2622951，L_e=0.7377049，L_s=0.8524590，L_q=0.2622951，W_s=1.155556，W_q=0.3555556。
该结果表明顾客到维修站可立即得到服务的概率为0.41，即该维修工空闲的概率为0.41；
系统的队长为0.852，系统的排队长为0.262，则说明排队加服务的总队长不超过1个人，而且等待的队长是很短的；
系统有效到达率为0.738，系统圆满被拒绝的概率为0.262，说明顾客被拒绝的概率是很低的；
逗留时间为1.156h，服务时间为0.356h，说明每个顾客平均排队加服务完的时间大约为1.156h，而等待服务的时间大概为21min。
综合以上数据，该维修站的服务质量还是比较高的，维修工的空闲时间很充足，顾客等待的队长也不长，其逗留时间也基本在容许范围内。
二、售票窗口管理问题
某公园售票处有两个售票窗口。
根据历史数据可以知道，节假日期间，顾客的到达服从泊松流，平均到达率为l=8人/min，每个售票窗口的售票时间均服从参数为m=5人/min的负指数分布。
试比较以下两种排队方案的运行效率：
（1）顾客到达后，以0.5的概率排成两列；
（2）顾客到达后排成一列，发现哪个窗口空闲时，就到该窗口去购票。
试分析讨论，该公园在节假日期间采用哪种排队方案服务效率高。
（1）若顾客到达后，以0.5的概率排成两列，则该问题是一个标准的2个M/M/1模型。
已知顾客的到达服从泊松流，平均到达率为l=8人/min,由于顾客到达后，以0.5的概率排成两列，排成两队后不再进行换队，这就形成了两个队，
每个售票窗口的售票时间均服从参数为m=5人/min的负指数分布，平均每个人接受服务的时间为T=0.2min,则有
②顾客平均等待时间为
③顾客的平均逗留时间为
④系统的队长
和排队长
分布为
，
，并记
L=4;
T=0.2;
R=L*T;
P_wait=@peb（R,c）;
W_Q=P_wait/（c/T-L）;
L_Q=L*W_Q;
W_S=W_Q+T;
L_S=L*W_S;
End
运行结果如下表所示：
P_wait=0.8,W_Q=0.8，L_Q=3.2，W_S=1，L_S=4。
即顾客平均等待概率为0.8,顾客平均等待时间为0.8min，顾客平均逗留时间为1min，系统的排队长为3.2，系统的队长为4。
（2）顾客到达后排成一列，发现哪个窗口空闲时，就到该窗口去购票,在这种情况下，则该问题是一个标准的多服务台M/M/2模型。
该排队模型的服务台个数c=2,顾客平均到达率为l=8人/min，
每个售票窗口的售票时间均服从参数为m=5人/min的负指数分布，平均每个人接受服务的时间为T=0.2min,则有
，系统平均服务强度为
1系统空闲概率为
2系统的队长为
3系统的排队长为
4顾客的平均等待时间为
5顾客的平均逗留时间为
c=2;
L=8;
Pwork=@peb（R,c）;
W_q=Pwork*T/（c-R）;
L_q=L*W_q;
W_s=W_q+T;
L_s=L*W_s;
PWORK=0.7111111,W_Q=0.3555556，L_Q=2.844444，W_S=0.555556，L_S=4.44444。
即售票窗口不空闲的概率为0.711，顾客平均等待时间为0.356min，顾客平均逗留时间为0.556min,顾客的排队长为2.844，顾客的队长为4.444。
由以上数据进行对比分析可得，我们把两种方案的对比在下表中显示。
第一种方案
第二种方案
顾客平均等待概率
0.8
0.711
顾客平均等待时间/min
0.356
顾客平均逗留时间/min
1
0.556
顾客排队长/人
3.2
2.844
顾客队长/人
4
4.444
由该表可以看出，采用第二种方案在顾客平均等待概率，顾客平均等待时间，顾客平均逗留时间和顾客的排队长等方面均优于第一种方案；
只是在顾客队长方面，第二种方案劣于第一种方案，这是由于第二种方案采取了只排一支队的缘故，但是在售票窗口服务时，两个窗口是同时进行的，所以在其他方面第二种方案都会比第一种方案好，因此在排队方案的选取中，我们选择第二种排队方案。
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