复旦概率统计习题答案文档格式.docx
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1[0703]06
3设AB是两事件且PA06PB07求
1在什么条件下PAB取到最大值
2在什么条件下PAB取到最小值
解1当ABA时PAB取到最大值为06
2当A∪BΩ时PAB取到最小值为03
4设ABC为三事件且PAPB14PC13且PABPBC0PAC112求ABC至少有一事件发生的概率
解PA∪B∪CPAPBPCPABPBCPACPABC
5从52张扑克牌中任意取出13张问有5张黑桃3张红心3张方块2张梅花的概率是多少
解p
6对一个五人学习小组考虑生日问题
1求五个人的生日都在星期日的概率2求五个人的生日都不在星期日的概率
3求五个人的生日不都在星期日的概率
解1设A1五个人的生日都在星期日基本事件总数为75有利事件仅1个故
PA15亦可用独立性求解下同
2设A2五个人生日都不在星期日有利事件数为65故
PA25
3设A3五个人的生日不都在星期日
PA31PA115
7一批产品共N件其中M件正品从中随机地取出n件nN试求其中恰有m件m≤M正品记为A的概率如果
1n件是同时取出的
2n件是无放回逐件取出的
3n件是有放回逐件取出的
解1PA
2由于是无放回逐件取出可用排列法计算样本点总数有种n次抽取中有m次为正品的组合数为种对于固定的一种正品与次品的抽取次序从M件正品中取m件的排列数有种从NM件次品中取nm件的排列数为种故
PA
由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出故上述概率也可写成
可以看出用第二种方法简便得多
3由于是有放回的抽取每次都有N种取法故所有可能的取法总数为Nn种n次抽取中有m次为正品的组合数为种对于固定的一种正次品的抽取次序m次取得正品都有M种取法共有Mm种取法nm次取得次品每次都有NM种取法共有NMnm种取法故
此题也可用贝努里概型共做了n重贝努里试验每次取得正品的概率为则取得m件正品的概率为
850只铆钉随机地取来用在10个部件上其中有3个铆钉com强度太弱的铆钉都装在一个部件上则这个部件强度就太弱求发生一个部件强度太弱的概率是多少
解设A发生一个部件强度太弱
9一个袋内装有大小相同的7个球其中4个是白球3个是黑球从中一次抽取3个计算至少有两个是白球的概率
解设Ai恰有i个白球i23显然A2与A3互斥
故
104有甲乙两批种子发芽率com在两批种子中各随机取一粒求
1两粒都发芽的概率
2至少有一粒发芽的概率
3恰有一粒发芽的概率
解设Ai第i批种子中的一粒发芽i12
1
2
3
11掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止
1问正好在第6次停止的概率
2问正好在第6次停止的情况下第5次也是出现正面的概率
解12
12甲乙两个篮球运动员投篮命中率com每人各投了3次求二人进球数相等的概率
解设Ai甲进i球i0123Bi乙进i球i0123则
032076
13．从5双不同的鞋子中任取4只求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率
解
14某地某天下雪的概率为03下雨的概率为05既下雪又下雨的概率为01求
1在下雨条件下下雪的概率2这天下雨或下雪的概率
解设A下雨B下雪
1
2
15已知一个家庭有3个小孩且其中一个为女孩求至少有一个男孩的概率小孩为男为女是等可能的
解设A其中一个为女孩B至少有一个男孩样本点总数为238故
或在缩减样本空间中求此时样本点总数为7
16已知5的男人和025的女人是色盲现随机地挑选一人此人恰为色盲问此人是男人的概率假设男人和女人各占人数的一半
解设A此人是男人B此人是色盲则由贝叶斯公式
17两人约定上午9∶0010∶00在公园会面求一人要等另一人半小时以上的概率
题21图题22图
解设两人到达时刻为xy则0≤xy≤60事件一人要等另一人半小时以上等价于xy30如图阴影部分所示
18从01中随机地取两个数求
1两个数之和小于的概率
2两个数之积小于的概率
解设两数为xy则0xy1
1xy
2xy
19设P03PB04PA05求PB｜A∪
20在一个盒中装有15个乒乓球其中有9个新球在第一次比赛中任意取出3个球比赛后放回原盒中第二次比赛同样任意取出3个球求第二次取出的3个球均为新球的概率
解设Ai第一次取出的3个球中有i个新球i0123B第二次取出的3球均为新球
由全概率公式有
21按以往概率论考试结果分析努力学习的学生有90的可能考试及格不努力学习的学生有90的可能考试不及格据调查学生中有80的人是努力学习的试问
1考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人
2考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人
解设A被调查学生是努力学习的则被调查学生是不努力学习的由题意知PA08P02又设B被调查学生考试及格由题意知PBA09P09故由贝叶斯公式知
1
即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2702
即考试不及格的学生中努力学习的学生占3077
22将两信息分别编码为A和B传递出来接收站收到时A被误收作B的概率为002而B被误收作A的comB传递的频繁程度为2∶1若接收站收到的信息是A试问原发信息是A的概率是多少
解设A原发信息是A则原发信息是B
C收到信息是A则收到信息是B
由贝叶斯公式得
23在已有两个球的箱子中再放一白球然后任意取出一球若发现这球为白球试求箱子中原有一白球的概率箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑白两种
解设Ai箱中原有i个白球i012由题设条件知PAii012又设B抽出一球为白球由贝叶斯公式知
24某工厂生产的产品中96是合格品检查产品时一个合格品被误认为是次品的概率为002一个次品被误认为是合格品的概率为005求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率
解设A产品确为合格品B产品被认为是合格品
29某保险公司把被保险人分为三类谨慎的一般的冒失的统计资料表明上述三种人在一年内发生事故的概率依次为005com如果谨慎的被保险人占20一般的占50冒失的占30现知某被保险人在一年内出了事故则他是谨慎的的概率是多少
解设A该客户是谨慎的B该客户是一般的
C该客户是冒失的D该客户在一年内出了事故
则由贝叶斯公式得
30加工某一零件需要经过四道工序设第一二三四道工序的次品率分别为002003005003假定各道工序是相互独立的求加工出来的零件的次品率
解设Ai第i道工序出次品i1234
25设每次射击的命中率为02问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于09
解设必须进行n次独立射击
即为
故n≥11
至少必须进行11次独立射击
26证明若PA｜BPA｜则AB相互独立
证即
亦即
因此
故A与B相互独立
27三人独立地破译一个密码他们能破译的概率分别为求将此密码破译出的概率
解设Ai第i人能破译i123则
28甲乙丙三人独立地向同一飞机射击设击中的概率分别是040507若只有一人击中则飞机被击落的概率为02若有两人击中则飞机被击落的概率为06若三人都击中则飞机一定被击落求飞机被击落的概率
解设A飞机被击落Bi恰有i人击中飞机i0123
由全概率公式得
04×
05×
0306×
0702
0304×
0706×
070604×
07
0458
习题二
1一袋中有5只乒乓球编号为12345在其中同时取3只以X表示取出的3只球中的最大号码写出随机变量X的分布律
解
故所求分布律为
X345P010306
2设在15只同类型零件中有2只为次品在其中取3次每次任取1只作不放回抽样以X表示取出的次品个数求
1X的分布律
2X的分布函数并作图
故X的分布律为
X012P
2当x0时FxPX≤x0
当0≤x1时FxPX≤xPX0
当1≤x2时FxPX≤xPX0PX1
当x≥2时FxPX≤x1
故X的分布函数
3射手向目标独立地进行了3次射击每次击中率为08求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数并求3次射击中至少击中2次的概率
设X表示击中目标的次数则X0123
X0123P0008009603840512分布函数
41设随机变量X的分布律为
PXk
其中k012λ＞0为常数试确定常数a
2设随机变量X的分布律为
PXkaNk12N
试确定常数a
解1由分布律的性质知
故
2由分布律的性质知
即
5甲乙两人投篮投中的概率分别为0607今各投3次求
1两人投中次数相等的概率
2甲比乙投中次数多的概率
解分别令XY表示甲乙投中次数则Xb306Yb307
0243
6设某机场每天有200架飞机在此降落任一飞机在某一时刻降落的概率设为002且设各飞机降落是相互独立的试问该机场需配备多少条跑道才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于001每条跑道只能允许一架飞机降落
解设X为某一时刻需立即降落的飞机数则Xb200002设机场需配备N条跑道则有
利用泊松近似
查表得N≥9故机场至少应配备9条跑道
7有一繁忙的汽车站每天有大量汽车通过设每辆车在一天的某时段出事故的概率为00001在某天的该时段内有1000辆汽车通过问出事故的次数不小于2的概率是多少利用泊松定理
解设X表示出事故的次数则Xb100000001
8已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足PX1PX2求概率PX4
解设在每次试验中成功的概率为p则
所以
9设事件A在每一次试验中发生的概率为03当A发生不少于3次时指示灯发出信号
1进行了5次独立试验试求指示灯发出信号的概率
2进行了7次独立试验试求指示灯发出信号的概率
解1设X表示5次独立试验中A发生的次数则X6503
2令Y表示7次独立试验中A发生的次数则Yb703
10某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为12t的泊松分布而与时间间隔起点无关时间以小时计
1求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率
2求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率
11设PXkk012
PYmm01234
分别为随机变量XY的概率分布如果已知PX≥1试求PY≥1
解因为故
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