人教版八年级数学上册 第14章 整式的乘除与因式分解专训因式分解的六种常见方法含答案Word文件下载.docx

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公因式是多项式的因式分解

4．把下列各式分解因式：

（1）a（b－c）＋c－b；

（2）15b（2a－b）2＋25（b－2a）2.

公式法

直接用公式法

5．把下列各式分解因式：

（1）－16＋x4y4；

（2）（x2＋y2）2－4x2y2；

（3）（x2＋6x）2＋18（x2＋6x）＋81.

先提公因式再用公式法

6．把下列各式分解因式：

（1）（x－1）＋b2（1－x）；

（2）－3x7＋24x5－48x3.

先局部再整体法

7．分解因式：

（x＋3）（x＋4）＋（x2－9）．

先展开再分解法

8．把下列各式分解因式：

（1）x（x＋4）＋4；

（2）4x（y－x）－y2.

分组分解法

9．观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学的因式分解：

甲：

x2－xy＋4x－4y

＝（x2－xy）＋（4x－4y）　（分成两组）

＝x（x－y）＋4（x－y）（分别提公因式）

＝（x－y）（x＋4）.（再提公因式）

乙：

a2－b2－c2＋2bc

＝a2－（b2＋c2－2bc）（分成两组）

＝a2－（b－c）2（运用完全平方公式）

＝（a＋b－c）（a－b＋c）.（再用平方差公式）

请你在他们的解法的启发下，把下列各式分解因式：

（1）m2－mn＋mx－nx；

（2）x2－2xy＋y2－9.

拆、添项法

10．分解因式：

x4＋

.

11．先阅读下面的材料：

我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法，其实分解因式的方法还有拆项法等．

拆项法：

将一个多项式的某一项拆成两项后可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：

x2＋2x－3

＝x2＋2x＋1－4

＝（x＋1）2－22

＝（x＋1＋2）（x＋1－2）

＝（x＋3）（x－1）．

请你仿照以上方法，分解因式：

（1）x2－6x－7；

（2）a2＋4ab－5b2.

整体法

“提”整体

12．分解因式：

a（x＋y－z）－b（z－x－y）－c（x－z＋y）．

“当”整体

13．分解因式：

（x＋y）2－4（x＋y－1）．

“拆”整体

14．分解因式：

ab（c2＋d2）＋cd（a2＋b2）．

“凑”整体

15．分解因式：

x2－y2－4x＋6y－5.

换元法

16．分解因式：

（1）（a2＋2a－2）（a2＋2a＋4）＋9；

（2）（b2－b＋1）（b2－b＋3）＋1.

答案

1．B　2.2m（x－3y）

3．解：

（1）2x2－xy＝x（2x－y）．

（2）－4m4n＋16m3n－28m2n＝－4m2n（m2－4m＋7）．

点拨：

如果一个多项式第一项含有“－”号，一般要将“－”号一并提出，但要注意括号里面的各项要改变符号．

4．解：

（1）原式＝a（b－c）－（b－c）＝（b－c）（a－1）．

（2）原式＝15b（2a－b）2＋25（2a－b）2＝5（2a－b）2（3b＋5）．

将多项式中的某些项变形时，要注意符号的变化．

5．解：

（1）原式＝x4y4－16＝（x2y2＋4）（x2y2－4）＝（x2y2＋4）（xy＋2）（xy－2）．

（2）原式＝（x2＋y2＋2xy）（x2＋y2－2xy）＝（x＋y）2（x－y）2.

（3）原式＝（x2＋6x＋9）2＝[（x＋3）2]2＝（x＋3）4.

因式分解必须分解到不能再分解为止，如第

（2）题不能分解到（x2＋y2＋2xy）（x2＋y2－2xy）就结束了．

6．解：

（1）原式＝（x－1）－b2（x－1）

＝（x－1）（1－b2）

＝（x－1）（1＋b）（1－b）．

（2）原式＝－3x3（x4－8x2＋16）

＝－3x3（x2－4）2

＝－3x3（x＋2）2（x－2）2.

7．解：

原式＝（x＋3）（x＋4）＋（x＋3）·

（x－3）

＝（x＋3）[（x＋4）＋（x－3）]

＝（x＋3）（2x＋1）．

解此题时，表面上看不能分解因式，但通过局部分解后，发现有公因式可以提取，从而将原多项式因式分解．

8．解：

（1）原式＝x2＋4x＋4＝（x＋2）2.

（2）原式＝4xy－4x2－y2＝－（4x2－4xy＋y2）＝－（2x－y）2.

通过观察发现此题不能直接分解因式，但运用整式乘法法则展开后，便可以运用公式法分解．

9．解：

（1）m2－mn＋mx－nx

＝（m2－mn）＋（mx－nx）

＝m（m－n）＋x（m－n）

＝（m－n）（m＋x）．

（2）x2－2xy＋y2－9

＝（x2－2xy＋y2）－9

＝（x－y）2－9

＝（x－y＋3）（x－y－3）．

10．解：

原式＝x4＋x2＋

－x2

＝

（x2－x＋

）．

此题直接分解因式很困难，考虑到添加辅助项使其符合公式特征，因此将原式添上x2与－x2两项后，便可通过分组使其符合平方差公式的结构特征，从而将原多项式进行因式分解．

11．解：

（1）x2－6x－7

＝x2－6x＋9－16

＝（x－3）2－42

＝（x－3＋4）（x－3－4）

＝（x＋1）（x－7）．

（2）a2＋4ab－5b2

＝a2＋4ab＋4b2－9b2

＝（a＋2b）2－（3b）2

＝（a＋2b＋3b）（a＋2b－3b）

＝（a＋5b）（a－b）．

12．解：

原式＝a（x＋y－z）＋b（x＋y－z）－c（x＋y－z）＝（x＋y－z）（a＋b－c）．

13．解：

原式＝（x＋y）2－4（x＋y）＋4＝（x＋y－2）2.

本题把x＋y这一整体“当”作完全平方公式中的字母a.

14．解：

原式＝abc2＋abd2＋cda2＋cdb2

＝（abc2＋cda2）＋（abd2＋cdb2）

＝ac（bc＋ad）＋bd（ad＋bc）

＝（bc＋ad）（ac＋bd）．

本题“拆”开原式中的两个整体，重新分组，可谓“柳暗花明”，出现转机．

15．解：

原式＝（x2－4x＋4）－（y2－6y＋9）

＝（x－2）2－（y－3）2

＝（x＋y－5）（x－y＋1）．

这里巧妙地把－5拆成4－9.“凑”成（x2－4x＋4）和（y2－6y＋9）两个整体，从而运用公式法分解因式．

16．解：

（1）设a2＋2a＝m，

则原式＝（m－2）（m＋4）＋9

＝m2＋4m－2m－8＋9

＝m2＋2m＋1

＝（m＋1）2

＝（a2＋2a＋1）2

＝（a＋1）4.

（2）设b2－b＝n，

则原式＝（n＋1）（n＋3）＋1

＝n2＋3n＋n＋3＋1

＝n2＋4n＋4

＝（n＋2）2

＝（b2－b＋2）2.