年数学二真题doc文档格式.docx
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（4）设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是（）
A.若
存在，则
B.若
存在,
C.若
存在,则
（5）曲线
渐近线的条数为（）
0
1
2
3
（6）设函数
在
上具有二阶导数，且
令
=
则下列结论正确的是（）
A.若
，则
必收敛B.若
必发散
必收敛D.若
必发散
（7）二元函数
在点（0，0）处可微的一个充分条件是（）
A.
B.
，且
C.
D.
且
（8）设函数
连续，则二次积分
等于（）
（9）设向量组
线形无关，则下列向量组线形相关的是：
（）
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）设矩阵A=
，B=
则A于B，（）
（A）合同，且相似（B）合同，但不相似
（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似
二．填空题：
11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
____.
曲线
上对应于
的点处的法线斜率为_____
设函数
＝_____.
二阶常系数非齐次线性微分方程
的通解y＝_____.
设
是二元可微函数，
则
设矩阵
的秩为______.
三、解答题：
17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）设
是区间
上单调、可导函数，且满足
，其中
是
的反函数，求
（18）（本题满分11分）
设D是位于曲线
下方、
轴上方的无界区域.
（Ⅰ）求区域D绕
轴旋转一周所成旋转体的体积
；
（Ⅱ）当
为何值时，
最小？
并求此最小值.
（19）求微分方程
满足初始条件
的特解.
（20）已知函数
具有二阶导数，且
＝1，函数
由方程
所确定.设
求
，
（21）（本题11分）
设函数
上连续，在
内具有二阶导数且存在相等的最大值，
证明：
存在
使得
（22）（本题满分11分）
设二元函数
计算二重积分
其中
（23）（本题满分11分）
设线性方程组
与方程
有公共解，求
的值及所有公共解
（24）设3阶对称矩阵A的特征向量值
是A的属于
的一个特征向量,记
为3阶单位矩阵
验证
是矩阵
的特征向量,并求
的全部特征值的特征向量；
求矩阵
2007年考研数学二真题解析
（2）当
等价的无穷小量是（B）
（A）
（C）
（4）设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是（C）
渐近线的条数为（D）
则下列结论正确的是（D）
在点（0，0）处可微的一个充分条件是（B）
C.
D.
等于（B）
（A）
则A于B，（B）
的点处的法线斜率为（
）.
＝
的通解y＝_
的秩为_1______.
【详解】：
则
则原式可化为：
等式两边同时求导得：
得
故
即
是唯一驻点，也是最小值点，最小值
代入得：
设
则
由于
由
或
特解为
两边对
求导得
得
（当
故有
（本题11分）
内某点
同时取得最大值，则
，此时的c就是所求点
.若两个函数取得最大值的点不同则有设
故有
，由介值定理，在
内肯定存在
由罗尔定理在区间
内分别存在一点
＝0在区间
内再用罗尔定理，即
D如图
（1）所示，它关于x,y轴对称，
对x,y均为偶函数，得
是D的第一象限部分.
由于被积函数分块表示，将
分成（如图
（2））：
且
于是
.而
所以
得
（本题满分11分）
的值及所有公共解.
因为方程组
（1）、
（2）有公共解，即由方程组
（1）、
（2）组成的方程组
的解.
即矩阵
方程组（3）有解的充要条件为
当
时，方程组（3）等价于方程组
（1）即此时的公共解为方程组
（1）的解.解方程组
（1）的基础解系为
此时的公共解为：
时，方程组（3）的系数矩阵为
此时方程组（3）的解为
，即公共解为：
（Ⅰ）可以很容易验证
，于是
于是
是矩阵B的特征向量.
B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，即
所以B的全部特征值为－2，1，1.
前面已经求得
为B的属于－2的特征值，而A为实对称矩阵，
于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B的属于1的特征向量为
，所以有方程如下：
于是求得B的属于1的特征向量为
（Ⅱ）令矩阵
，所以
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