三角函数解三角形 45 三角恒等变形 第2课时 简单的三角恒等变形试题 理 北师大版Word文件下载.docx

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）＝________.

（2）若α∈

，且3cos2α＝sin

，则sin2α的值为（　　）

A.

B．－

C.

D．－

答案　

（1）－1　

（2）D

解析　

（1）cosx＋cos（x－

）

＝cosx＋

cosx＋

sinx

sinx＝

cos（x－

×

（－

）＝－1.

（2）cos2α＝sin

＝sin

＝2sin

代入原式，得

6sin

∵α∈

，∴cos

∴sin2α＝cos

＝2cos2

－1＝－

题型二　三角函数的求值

命题点1　给值求值问题

例2　

（1）（2016·

合肥联考）已知α，β为锐角，cosα＝

，sin（α＋β）＝

，则cosβ＝________.

答案　

解析　∵α为锐角，

∴sinα＝

∵α，β∈（0，

），∴0<

α＋β<

π.

又∵sin（α＋β）<

sinα，∴α＋β>

∴cos（α＋β）＝－

cosβ＝cos[（α＋β）－α]

＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα

＝－

＋

（2）（2015·

广东）已知tanα＝2.

①求tan（α＋

）的值；

②求

的值．

解　①tan（α＋

）＝

＝－3.

②

＝1.

命题点2　给值求角问题

例3　

（1）设α，β为钝角，且sinα＝

，cosβ＝－

，则α＋β的值为（　　）

B.

D.

或

（2）已知α，β∈（0，π），且tan（α－β）＝

，tanβ＝－

，则2α－β的值为________．

答案　

（1）C　

（2）－

解析　

（1）∵α，β为钝角，sinα＝

∴cosα＝－

，sinβ＝

∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝

0.

又α＋β∈（π，2π），∴α＋β∈（

，2π），

∴α＋β＝

（2）∵tanα＝tan[（α－β）＋β]

0，

∴0<

α<

又∵tan2α＝

2α<

∴tan（2α－β）＝

∵tanβ＝－

<

∴

β<

π，－π<

2α－β<

∴2α－β＝－

引申探究

本例

（1）中，若α，β为锐角，sinα＝

，cosβ＝

，则α＋β＝________.

解析　∵α，β为锐角，∴cosα＝

∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

－

又0<

π，∴α＋β＝

思维升华　

（1）给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法；

（2）给值求角问题：

先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．

（1）已知α∈

，且2sin2α－sinα·

cosα－3cos2α＝0，则

（2）（2016·

成都检测）若sin2α＝

，sin（β－α）＝

，且α∈[

，π]，β∈[π，

]，则α＋β的值是（　　）

D.

答案　

（1）

（2）A

解析　

（1）∵α∈

cosα－3cos2α＝0，则（2sinα－3cosα）·

（sinα＋cosα）＝0，

∴2sinα＝3cosα，

又sin2α＋cos2α＝1，

∴cosα＝

，sinα＝

（2）因为α∈[

，π]，sin2α＝

所以2α∈[

，π]，

所以cos2α＝－

且α∈[

]，

又因为sin（β－α）＝

0，β∈[π，

所以β－α∈[

所以cos（β－α）＝－

因此sin（α＋β）＝sin[（β－α）＋2α]

＝sin（β－α）cos2α＋cos（β－α）sin2α

）＋（－

）×

cos（α＋β）＝cos[（β－α）＋2α]

＝cos（β－α）cos2α－sin（β－α）sin2α

＝（－

）－

又α＋β∈[

，2π]，所以α＋β＝

，故选A.

题型三　三角恒等变形的应用

例4　（2016·

天津）已知函数f（x）＝4tanxsin

·

（1）求f（x）的定义域与最小正周期；

（2）讨论f（x）在区间

上的单调性．

解　

（1）f（x）的定义域为{x|x≠

＋kπ，k∈Z}．

f（x）＝4tanxcosxcos

＝4sinxcos

＝4sinx

＝2sinxcosx＋2

sin2x－

＝sin2x＋

（1－cos2x）－

＝sin2x－

cos2x＝2sin

所以f（x）的最小正周期T＝

＝π.

（2）令z＝2x－

，则函数y＝2sinz的单调递增区间是

，k∈Z.

由－

＋2kπ≤2x－

≤

＋2kπ，k∈Z，

得－

＋kπ≤x≤

＋kπ，k∈Z.

设A＝

，B＝{x|－

＋kπ，k∈Z}，易知A∩B＝

所以当x∈

时，f（x）在区间

上是增加的，在区间

上是减少的．

思维升华　三角恒等变形的应用策略

（1）进行三角恒等变形要抓住：

变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；

注意公式的逆用和变形使用．

（2）把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝

sin（x＋φ），可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．

（1）函数f（x）＝sin（x＋φ）－2sinφcosx的最大值为________．

（2）函数f（x）＝sin（2x－

）－2

sin2x的最小正周期是________．

答案　

（1）1　

（2）π

解析　

（1）因为f（x）＝sin（x＋φ）－2sinφcosx

＝sinxcosφ－cosxsinφ＝sin（x－φ），

－1≤sin（x－φ）≤1，所以f（x）的最大值为1.

（2）f（x）＝

sin2x－

cos2x－

（1－cos2x）

sin2x＋

＝sin（2x＋

∴T＝

9．化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用

典例　（12分）（2015·

重庆）已知函数f（x）＝sin

sinx－

cos2x.

（1）求f（x）的最小正周期和最大值；

（2）讨论f（x）在

思想方法指导　

（1）讨论形如y＝asinωx＋bcosωx型函数的性质，一律化成y＝

sin（ωx＋φ）型的函数．

（2）研究y＝Asin（ωx＋φ）型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sinx的图像解决．

规范解答

解　

（1）f（x）＝sin

cos2x

＝cosxsinx－

（1＋cos2x）＝

，[4分]

因此f（x）的最小正周期为π，最大值为

.[6分]

（2）当x∈

时，0≤2x－

≤π，[7分]

从而当0≤2x－

即

≤x≤

时，f（x）是增加的，[9分]

当

≤2x－

≤π，即

时，f（x）是减少的．[11分]

综上可知，f（x）在

上是增加的；

在

上是减少的．[12分]

1．（2016·

青岛模拟）设tan（α－

，则tan（α＋

）等于（　　）

A．－2B．2C．－4D．4

答案　C

解析　因为tan（α－

所以tanα＝

，故tan（α＋

＝－4，

故选C.

2．（2016·

全国甲卷）若cos

，则sin2α等于（　　）

B.

C．－

D．－

答案　D

解析　因为sin2α＝cos

－1，又因为cos

，所以sin2α＝2×

，故选D.

3．（2016·

福州模拟）已知tanα＝3，则

的值等于（　　）

A．2B．3

C．4D．6

解析　

＝2tanα＝2×

3＝6.

4．已知tan（α＋

，且－

0，则

等于（　　）

A．－

C．－

答案　A

解析　由tan（α＋

，得tanα＝－

又－

0，所以sinα＝－

故

＝2

sinα＝－

5．设α∈（0，

），β∈（0，

），且tanα＝

，则（　　）

A．3α－β＝

B．2α－β＝

C．3α＋β＝

D．2α＋β＝

答案　B

解析　由tanα＝

，得

即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，

∴sin（α－β）＝cosα＝sin（

－α）．

∵α∈（0，

），

∴α－β∈（－

－α∈（0，

由sin（α－β）＝sin（

－α），得α－β＝

－α，

∴2α－β＝

6．函数f（x）＝sin（2x＋θ）＋

cos（2x＋θ）

的图像关于点

对称，则f（x）的单调递增区间为（　　）

，k∈Z

B.

D.

解析　∵f（x）＝sin（2x＋θ）＋

由题意知2×

＋θ＋

＝kπ（k∈Z），

∴θ＝kπ－

π（k∈Z）．

∵|θ|＜

，∴θ＝

∴f（x）＝2sin

由2kπ－

≤2x＋

π≤2kπ＋

（k∈Z），

得kπ－

π≤x≤kπ－

（k∈Z）．故选C.

7．若f（x）＝2tanx－

，则f

的值为______．

答案　8

解析　∵f（x）＝2tanx＋

＝2tanx＋

∴f

＝8.

8．若锐角α、β满足（1＋

tanα）（1＋

tanβ）＝4，则α＋β＝________.

解析　由（1＋