数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义Word文件下载.docx

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。

求证：

2EF=DE+DC。

（.gsp）

2．已知相交两圆O和O'

交于A、B两点，且O'

恰在圆O上，P为圆O的AO'

B弧段上任意一点。

∠APB的平分线交圆O'

于Q点。

PQ2=PA×

PB。

（-1.gsp）

3．设三角形ABC的Fermat点为R，连结AR，BR，CR，三角形ABR，BCR，ACR的九点圆心分别为D，E，F，则三角形DEF为正三角形。

4．在△ABC中，已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E，点A关于D、E的对称点分别为F、G，△ADG和△AEF的外接圆交于A和另一点P。

APsp）

5．圆O1和圆O2相交于A、B两点，P是直线AB上一点，过P作两圆作切线，分别切圆O1和圆O2于点C、D，又两圆的一条外公切线分别切圆O1和圆O2于点E，F。

AB、CE、DF共点。

6．四边形ABCD中，M是AB边中点，且MC=MD，过C、D分别作BC、AD的垂线，两条垂线交于P点，再作PQ⊥AB于Q。

∠PQC=∠PQD。

7．已知RT△ABD∽RT△ADC，M是BC中点，AD与BC交于E，自C作AM垂线交AD于F。

DE=EF。

8．在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，E是△ABC外一点，满足CE⊥AB，BE=BD。

过线段BE的中点M作直线MF⊥BE，交△ABD的外接圆的劣弧AD于点F。

ED⊥DF。

（2010年女子竞赛）（）

9．设圆I1是△ABC的BC边外的旁切圆，D、E、F分别是切点，若I1D与EF交于P点。

AP平分底边BC。

（）

10．如图，⊙O切△ABC的边AB于点D，切边AC于点C，M是边BC上一点，AM交CD于点N．求证：

M是BC中点的充要条件是ON⊥BC。

11．已知：

BC是圆上的定弦，而动点A在圆上运动，M是AC中点，作MP⊥AB于P。

求P点的轨迹。

12．△ABC外接圆为圆O，P为AB上一点，过P分别作OA、OB的垂线，与AC、BC交于S、T，与AB交于M、N。

PM=MS的充要条件是PN=NT。

13．在ΔABC中AC＞BC，F是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得C、E在AB同一侧，又过C做AB的平行线交DE于L。

求证：

（AC+BC）2＝4DL×

EF。

（）

14．已知：

P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥CA于E，PF⊥AB于F。

（BC/PD）＝（AC/PE）+（AB/PF）。

15．已知O是△ABC的外心，M是BC边中点，D是OM延长线上一点，满足DO=DB，E、F分别是AB、AC边上的点，满足∠MEA=∠MFA=∠A。

AD⊥EF。

16．已知△ABC中，AB＝AC，线段AB上有一点D，线段AC延长线上有一点E，使得DE＝AB。

线段DE与△ABC的外接圆交于点T，P是线段AT延长线上的一点。

点P满足PD＋PE＝AT的充要条件是P在△ADE的外接圆上。

（2000年国家集训队）（）

17．已知△ABC中，内心I关于BC边中点M的对称点为I'

，S是BC弧（不含A点）中点，直线SI'

交△ABC的外接圆于另一点P。

P点到△ABC较远的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。

18．在△ABC外作△DBC∽△ECA∽△FAB，联结AD、BE、CF。

AF+FB+BD+DC+CE+EA≥AD+BE+CF。

19．过△ABC内一点O引三边AB、BC、CA的平行线与其它两边的交点分别为E、F、G、H、I、K，过O作△ABC的外接圆的弦AL。

OE·

OF＋OG·

OH＋OI·

OK＝OA·

OL。

20．一小圆内切大圆于点N，BA、BC是大圆的两条弦，且分别切小圆于K、M，劣弧AB和劣弧BC的中点分别为Q、P，又设△BQK、△BPM外接圆的另一个交点为B1。

BPB1Q为平行四边形。

21．圆O与圆O1、圆O2同时相切，切点为S、T，圆O1与圆O2交于A、B两点，且圆O2的圆心恰在圆O1上。

设公共弦AB延长交圆O于C、D两点，联结SC、SD分别交圆O1于P和Q。

PQ与圆O2相切。

（40届IMO）（.gsp）

22．设KL、KN是圆O的切线，M是KN延长线上一点，过K、L、M三点的圆与圆O交于P，作NQ⊥LM于Q。

∠MPQ=2∠NML。

（98年伊朗竞赛）（-5、）（）

23．设△ABC内接于圆O，过O作OE⊥BC交圆O于E，交AB于F，交AC延长线于G。

过G作圆O的切线GT，T为切点。

TF⊥GE。

24．已知圆O外一点P向圆O作切线PA、PB和一条割线PEF，M是EF上一点，联结BM延长交圆O于C。

AC

sp）

32．凸四边形ABCD内接于圆O，两组对边所在直线分别交于点E、F，对角线AC、BD交于G，作GH⊥EF于H，圆O的弦MN经过G点。

GH与圆O交点恰是△HMN的内心。

33．⊙O为△ABC的外接圆，P为劣弧AB上一点，E、F分别为AC、AB延长线上的点，BE、CF交于D，PE、PF分别交⊙O于S、R。

若AD、BC、RS共点，求证：

点D在⊙O上。

（.gsp）（）

34．已知：

D、E、F分别在△ABC三边上，满足EB＝ED，FC＝FD，O是△ABC外心。

A、E、O、F四点共圆。

35．如图，设N是△ABC的BAC弧中点，M是BC边中点，I是△ABC的内心。

∠ANI＝2∠IMC。

36．设T为△ABC的内切圆与BC边的切点，D为BC上任一点，I1、I2分别为△ABD、△ACD的内心。

TI1⊥TI2。

37．矩形ABCD中，AB＝

AC。

P是以为AB直径的半圆上任意一点，PC、PD分别交AB于F、E。

AE2＋BF2＝AB2。

38．AB是圆O的直径，P是过B所作切线上的任一点，过P作圆O的割线PCE，联结直线PO分别交AC、AD于E、F。

OE=OF。

39．自圆O外一点P作切线PA、PB及割线PCD，自C作PA的平行线，分别交AB、AD于E、F。

CE=EF。

40．A为圆O上一点，B为圆外一点，BC、BD分别相切圆O于C、D，DE垂直AO于E，DE分别交AB、AC于F、G。

DF＝FG。

41．P为圆外一点，PA、PD为切线，PCE为割线。

过D作PA的平行线，分别与AC延长线及线段AE交于B、F。

D为BF中点。

42．已知P、Q是等腰三角形ABC（AB=AC）内两点，满足∠ABP=∠QCB，且∠ACP=∠QBC。

A、P、Q三点共线。

43．已知锐角△ABC中，AD是高，O是外心，AO的延长线交过O、B、C三点的圆于P，自P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。

DEPF是平行四边形。

44．已知E、F是圆内接四边形ABCD对边AB、CD的中点，M是EF的中点，自E分别作BC、AD的垂线，垂足记为P、Q。

MP=MQ。

45．AD为△ABC内角平分线，I1、I2为△ABD、△ACD的内心，以I1I2为底向BC边作等腰△EI1I2，使得∠I1EI2＝

∠BAC。

DE⊥BC。

46．已知P是凸四边形内一点，满足∠PAB=∠CAD，∠PCB=∠ACD。

PB=PD的充要条件是ABCD四点共圆。

（2004年IMO）（）（）

47．已知D是△ABC底边BC上任一点，P是形内一点，满足∠1=∠2，∠3=∠4。

（PB/PC）=（AB/AC）。

48．已知：

D是△ABC的BC中垂线上一点，I1、I2是△ABD、△ACD的内心，E是△ABC外接圆弧BAC的中点。

A、E、I1、I2四点共圆。

49．如图，△ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆分别与AB、AC交于E、F两点，圆在E、F两点的切线交于点D。

DM⊥BC。

50．已知：

⊙O两切线PA、PB和一割线PCD，AD、AP交C处的切线于E、F，BE交DF于K。

K在圆O上。

51．设⊙O1与⊙O2交于C、D。

过D的直线交⊙O1与⊙O2于A、B。

点P在弧AD上，PD与AC的延长线交于M，Q在弧BD上，QD与BC的延长线交于N，O为△ABC外心。

MN⊥OD是P、Q、M、N四点共圆的充要条件。

52．设X是P点的Simson线关于△ABC的垂极点。

XP被Simson线所平分。

53．已知：

AD是高，O、H是外心和垂心，过D作OD垂线，交AC于E。

∠DHE=∠C。

54．△ABC中，AD为边BC上的中线，E、F、G分别为AB、AC、AD上的点，且A、E、G、F四点共圆。

设△BDE外心为O1、半径为r1；

△CDF外心为O2、半径为r2。

GO12＋GO22＝r12＋r22。

55．已知P是△ABC内一点，A1、B1、C1分别是圆弧BPC、CPA、APB的中点。

P、A1、B1、C1四点共圆。

56．给定△ABC，D、E、F是边BC、CA、AB上的任意三点，M、N分别是△BDF、△CDE的外心。

P、Q分别是BC、MN上的点，满足（BP/PC）=（MQ/QN）。

AP与⊙AEF相交于R点。

（1）QR=QD；

（2）∠RQD=2∠APC。

57．已知⊙O1与⊙O2交于C、D两点，A、B分别是两圆上的点，满足PA＝PB，E、F是弧AQ、BQ中点。

C、D、E、F四点共圆。

58．△ABC中，D、E、F是边BC、CA、AB的中点，X、Y、Z是各边上高的垂足，EZ与FY交于L，FX与DZ交于M，DY与EX交于N。

L、M、N三点共线。

59．设△ABC的内切圆分别与三边切于D、E、F，联结AD交内切圆于另一点P，联PB、PE、PF。

PF

1A3A1A2A1A2A

67．已知M、N是四边形ABCD对边AD、BC上任意两点，E、F是对边AB、CD上两点，满足（AE/EB）=（CF/FD）=（AM/MD）*（CN/NB），AN、BM交于P，CM、DN交于Q。

PQ//EF。