高中数学人教A选择性必修一第一章 12 第2课时 空间向量基本定理的初步应用文档格式.docx
《高中数学人教A选择性必修一第一章 12 第2课时 空间向量基本定理的初步应用文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A选择性必修一第一章 12 第2课时 空间向量基本定理的初步应用文档格式.docx（54页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
的夹角为60°
，则∠NMP＝60°
4．如果
＋
，则四点O，P，M，N一定共面．（ √ ）
一、证明平行、共面问题
例1 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点．
求证：
BF∥ED′.
证明
∴
∥
∵直线BF与ED′没有公共点，∴BF∥ED′.
反思感悟 证明平行、共面问题的思路
（1）利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．
（2）利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．
跟踪训练1 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝
BB1，DF＝
DD1.
A，E，C1，F四点共面．
证明 因为
所以
共面，
所以A，E，C1，F四点共面．
二、求夹角、证明垂直问题
例2 如图所示，在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点．
（1）证明：
AE⊥BC；
（2）求直线AE与DC的夹角的余弦值．
（1）证明 因为
－
（
）－
·
）
2－
又DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，
＝0，
故AE⊥BC.
（2）解
2＝2，
由
2＝
2＋
2＝6，得
所以cos〈
〉＝
.
故直线AE与DC的夹角的余弦值为
反思感悟 求夹角、证明线线垂直的方法
利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝
，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况．
跟踪训练2 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点．求异面直线MN与BC1所成角的余弦值．
解
），
＝－
，
又
，
所以cos〈
故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为
三、求距离（长度）问题
例3 已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，并且AC⊥l，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，则CD＝________.
答案 26
解析 ∵平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，
AC⊥l，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，
2＝（
）2
2＝64＋36＋576＝676，
∴CD＝26.
反思感悟 求距离（长度）问题的思路
选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量，利用基底表示向量，将距离（长度）问题转化为向量的模的问题．
跟踪训练3 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，
，点N为B1B的中点，则
|
|等于（ ）
A.
aB.
a
C.
aD.
答案 A
解析 ∵
）
∴|
|＝
a.
1．（多选）已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是（ ）
＝2
B.
D.
答案 BD
解析 根据“
＝x
＋y
＋z
，若x＋y＋z＝1，则点M与点A，B，C共面”，
因为2＋（－1）＋（－1）＝0≠1,1＋1＋（－1）＝1,1＋
≠1，
＝1，
由上可知，BD满足要求．
2．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足
＝0，则△BCD是（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．不确定
答案 B
解析 在△BCD中，
＝（
）·
）＝
2＞0，∴B为锐角，
同理，C，D均为锐角．
3．如图，三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2
，则SC与AB所成角的大小为（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
解析 因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，所以
又AB⊥BC，AB＝BC＝2，
所以∠BAC＝45°
，AC＝2
因此
cos45°
＝2×
2
×
＝4，
又SA＝2
，所以SC＝
＝4，
因此cos〈
所以SC与AB所成角的大小为60°
4．如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°
，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC的长为________．
答案 7
|2＝
）2＝|
|2＋|
|2＋2
＋2
＝62＋42＋32＋2|
||
|cos120°
＝61－12＝49.
∴PC＝7.
5．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝
，则cos〈a，b〉＝________.
答案
解析 将|a－b|＝
化为（a－b）2＝7，求得a·
b＝
再由a·
b＝|a||b|cos〈a，b〉求得cos〈a，b〉＝
1．知识清单：
（1）空间向量基本定理．
（2）空间向量共线、共面的充要条件．
（3）向量的数量积及应用．
2．方法归纳：
转化化归．
3．常见误区：
（1）向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆．
（2）转化目标不清：
表示向量时没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义．
1．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2
＝0，则
等于（ ）
A．2
B．－
D．－
解析 由已知得2（
）＋（
）＝0，
2．如图，已知空间四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连接各边中点P，Q，R，S，所得图形是（ ）
A．长方形
B．正方形
C．梯形
D．菱形
答案 D
解析 因为
同理
，所以
所以四边形PQRS为平行四边形．
所以|
|，即PS＝
BD.
又|
|，
故PQ＝
AC，而AC＝BD，
所以PS＝PQ，故四边形ABCD为菱形．
3．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（ ）
A．0B.
D.
解析 根据题意可得，
＝（－
（－
2－
4－1－
4＝0，
从而得到
和
垂直，故其所成角的余弦值为0.
4．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝
BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是（ ）
A．60°
B．75°
C．90°
D．105°
答案 C
解析 设|
|＝m，
＝a，
＝b，
＝c，
则
＝a＋c，
＝b－c，
＝（a＋c）·
（b－c）
＝a·
b＋b·
c－a·
c－c2
m·
mcos
＋0－0－m2＝0，
⊥
∴CA1与C1B所成的角的大小是90°
5．如图，二面角α－l－β等于
，A，B是棱l上两点，BD,AC分别在平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且2AB＝AC＝BD＝2，则CD的长等于（ ）
B.
C．4D．5
解析 ∵二面角α－l－β等于
，AC⊥l,BD⊥l，所以〈
〉＝π－
∵
2＋2
＝22＋12＋22＋0＋0＋2×
2×
cos
＝13.即CD＝
6．已知向量a，b满足条件|a|＝3
，|b|＝4，若m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°
，m⊥n，则实数λ＝________.
答案 －
解析 因为m·
n＝0，所以（a＋b）·
（a＋λb）＝0，
所以a2＋（1＋λ）a·
b＋λb2＝0，
所以18＋（1＋λ）×
3
4×
＋16λ＝0，
解得λ＝－
7．如图，在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠CBD＝
，∠ABC＝
，BC＝BD＝1，AB＝
，则异面直线AB与CD所成角的大小是________．
解析 依题意可知CD＝
＝0＋
＝1.
设直线AB与CD所成角为α，则cosα＝
，故α＝
升级会员 