132等比数列的前n项和 教案北师大版必修五Word文件下载.docx

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3．能利用等比数列的前n项和公式解决实际问题（难点）.

等比数列的前n项和公式

【问题导思】　

1．前n项和Sn＝1＋2＋22＋…＋2n①，两边同乘以公比2得2Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＋1②，那么这两个公式右边有何特点？

若用②式减去①式，会得什么结果？

【提示】　等式右边有公共项2＋22＋…＋2n，

②－①得Sn＝2n＋1－1.

2．对于Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1（q≠1）按上问题方法整理会怎样呢？

【提示】　Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1①

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn②

②－①得（q－1）Sn＝a1（qn－1），

由于q≠1从而Sn＝.

已知量

选用公式

首项、公比和项数

（a1，q和n）

Sn＝

首项、末项和公比

（a1，an和q）

等比数列的前n项和公式的应用

　已知一个等比数列{an}，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5.

【思路探究】　―→―→

【自主解答】　设等比数列的公比为q，则有

即

∵a1≠0，1＋q2≠0，②÷

①得q3＝，

∴q＝，∴a1＝8，

∴a4＝8×

（）3＝1，

∴S5＝＝.

1．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．

2．在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解．

本例中，若Sn＝189，q＝2，an＝96，如何求a1和n?

【解】　由Sn＝及an＝a1·

qn－1得

①÷

②得

＝，

解得2n＝64，∴n＝6.代入①得a1＝3.

错位相减法求和

　求数列1，3a，5a2，7a3，…，（2n－1）an－1（a≠0）的前n项和．

【思路探究】　观察此数列与等比数列有何关系？

用何方法求数列的前n项和？

【自主解答】　

（1）当a＝1时，数列变为1，3，5，7，…，（2n－1），

则Sn＝＝n2.

（2）当a≠1时，有

Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋（2n－1）an－1，①

aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋（2n－1）an，②

①－②得

Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－（2n－1）an，

∴（1－a）Sn＝1－（2n－1）an＋2（a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1）

＝1－（2n－1）an＋2·

＝1－（2n－1）an＋，

又∵1－a≠0，

∴Sn＝＋，

即Sn＝.

1．本题易忽视a＝1的情况致错．

2．所谓错位相减法是指在求和式子的左、右两边同乘等比数列的公比，然后错位相减，使其转化为等比数列的求和问题，此种方法一般适用于形如数列{anbn}的求和，其中数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列．

求和Sn＝1×

2＋4×

22＋7×

23＋…＋（3n－2）×

2n.

【解】　Sn＝1×

23＋…＋[3（n－1）－2]×

2n－1＋（3n－2）×

2n，①

2Sn＝1×

22＋4×

23＋…＋[3（n－2）－2]×

2n－1＋[3（n－1）－2]×

2n＋（3n－2）×

2n＋1，②

－Sn＝1×

2＋3×

22＋3×

23＋…＋3×

2n－（3n－2）×

2n＋1

＝3×

（2＋22＋…＋2n）－（3n－2）×

2n＋1－4

（2n＋1－2）－（3n－2）×

2n＋1－6－3n×

2n＋1＋2n＋2－4

＝2n＋2＋3（1－n）×

2n＋1－10＝（5－3n）×

2n＋1－10.

所以Sn＝（3n－5）×

2n＋1＋10.

等比数列的实际应用

　国家计划在西部地区退耕还林6370万亩，2012年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增．

（1）试问从2012年底，到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划？

（1.128≈2.476，1.127≈2.211）（精确到年）

（2）为支持退耕还林工作，国家财政从2013年起补助农民当年退耕地每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元折算，并且补助当年退耕地每亩20元．试问：

西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付多少亿元？

（精确到亿元）

【思路探究】　每年退耕还林的土地组成等比数列，用等比数列求和公式．

【自主解答】　

（1）设从2012年底起以后每年的退耕还林的土地依次为a1，a2，a3，…，an，…万亩．

则a1＝515（1＋12%），a2＝515（1＋12%）2，…，

an＝515（1＋12%）n，….

Sn＝a1＋a2＋…＋an

＝＝6370－515，

∴515×

1.12×

（1.12n－1）＝5855×

0.12.

即1.12n＝2.218.

又∵n∈N＋，当n＝7时，1.127≈2.211，此时完不成退耕还林计划，∴n＝8.

故到2020年底西部地区才能完成退耕还林计划．

（2）设财政补助费为W亿元，

则W＝（300×

0.7＋20）×

（6370－515）×

10－4≈134.7（亿元）．

所以西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付134.7亿元．

1．本题将实际问题转化为数学问题，并能把它作为数列前n项和的问题处理是解题关键．

2．解题时应明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？

是求an，还是求Sn？

特别要注意准确弄清项数是多少．

某化工厂第1年产量5万t，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第一年起，约几年内可使总产量达到30万t（精确到个位）?

【解】　根据题意，每年产量比上一年增加的百分率相同，

所以从第1年起，每年的产量组成一个等比数列{an}，其中a1＝5，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30.

∴＝30，整理后得1.1n＝1.6.

两边取对数，得nlg1.1＝lg1.6，

用计算器算得n＝≈≈5（年）．

∴约5年内可以使总产量达到30万t.

（对应学生用书第24页）

忽视等比数列定义致误

　已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.

求证：

{an}是等比数列．

【错解】　∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，且Sn＝2n＋1－2.

∴＝＝＝＝2.

∴数列{an}是以2为公比的等比数列．

【错因分析】　＝是对n∈N＋且n≥2时成立，而当n＝2时，＝，因此，错解中仅说明从第三项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数2，未说明＝2，故其解答是错误的．

【防范措施】　对等比数列的概念理解透彻，可以避免其错误的出现．

【正解】　∵Sn＝2n＋1－2，

∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n，

当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2，也适合上式．

∴数列{an}的通项公式an＝2n.

∴＝＝2.

1．等比数列的通项公式和前n项和公式共涉及五个量：

a1，q，n，an，Sn，其中a1和q为基本量，且五个量“知三可求二”，在解决等比数列问题中，要学会用函数与方程、整体代换的思想方法分析问题，养成良好的思维习惯．

2．对于错位相减法求和：

（1）如果数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·

bn}的前n项和时需采用错位相减法来求．

（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便于下一步写出“Sn－qSn”的表达式．

（对应学生用书第25页）

1．（2013·

哈尔滨高二检测）数列{an}通项公式是an＝2n，Sn是数列{an}的前n项和，则S10等于（　　）

A．210－1　　　　　　　B．210－2

C．211－1D．211－2

【解析】　an＝2n，∴数列{an}的首项为2，公比为2，

∴S10＝＝211－2.

【答案】　D

2．已知数列{an}既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n项和为（　　）

A．nB．na1

C．a1nD．0

【解析】　数列为常数列．

【答案】　B

3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝7a1，则数列{an}的公比q的值为________．

【解析】　由S3＝7a1得：

＝7a1，解得q＝2或－3.

【答案】　2或－3

4．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，求S6.

【解】　设公比为q，由题意得

解得q＝－2，a1＝－，

∴S6＝＝.

（对应学生用书第93页）

一、选择题

1．若等比数列{an}的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（　　）

A．1　　　　　　　　　B．－2

C．2或－1D．－2或1

【解析】　由题意知，S3＝3a1，

当q＝1时，S3＝3a1有解，

∴公比为1，符合题意．

当q≠1时，有＝3a1⇒q＝－2.故选D.

2．（2013·

郑州高二检测）已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为（　　）

A.或5B.或5

C.D.

【解析】　由题意易知q≠1，则＝，解得q＝2，

数列{}是以1为首项，以为公比的等比数列，

由求和公式可得S5＝.

【答案】　C

3．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝（　　）

A．33B．72

C．84D．189

【解析】　由a1＋a2＋a3＝21，得a1（1＋q＋q2）＝21，

又a1＝3，

∴q2＋q－6＝0，

解得q＝2或－3（舍去），

∴a3＋a4＋a5＝q2（a1＋a2＋a3）＝4×

21＝84.

4．（2013·

吉林高二检测）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝10，S10＝50，则S15等于（　　）

A．150B．170

C．190D．210

【解析】　因为S5，S10－S5，S15－S10也成等比数列，

所以（S10－S5）2＝S5·

（S15－S10），即402＝10×

（S15－50），

所以S15＝210.

5．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a的值等于（　　）

A．－4　　　　B．－1C．0　　　　D．1

【解析】　当n＝1时，a1＝4＋a.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－4n－1＝3·

4n－1.

当n＝1时，4＋a＝3，∴a＝－1.

二、填空题

6．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，