版高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第七节正弦定理余弦定理的应用举例练习文Word文档下载推荐.docx

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　（3）×

　（4）√

2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°

，现高不变，将倾斜角改为10°

，则斜坡长为（　　）

A．1　　　B．2sin10°

　　　C．2cos10°

　　　D．cos20°

解析：

如下图，∠ABC＝20°

，AB＝1，∠ADC＝10°

，

∴∠ABD＝160°

.

在△ABD中，由正弦定理，得

＝.

∴AD＝AB·

＝＝2cos10°

C

3．若点A在点C的北偏东30°

，点B在点C的南偏东60°

，且AC＝BC，则点A在点B的（　　）

A．北偏东15°

　　　　　B．北偏西15°

C．北偏东10°

D．北偏西10°

如下图所示，∠ACB＝90°

，又AC＝BC，

∴∠CBA＝45°

，而β＝30°

∴α＝90°

－45°

－30°

＝15°

∴点A在点B的北偏西15°

B

4．如下图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50m，∠ACB＝45°

，∠CAB＝105°

，则A，B两点的距离为（　　）

A．50m

B．25m

C．25m

D．50m

因为∠ACB＝45°

，所以∠B＝30°

由正弦定理可知＝，即＝，解得AB＝50m.

D

5．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°

，沿点A向北偏东30°

前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°

，则水柱的高度是（　　）

A．50mB．100m

C．120mD．150m

设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°

，AC＝h，AB＝100，BC＝h.

根据余弦定理得，（h）2＝h2＋1002－2·

h·

100·

cos60°

，即h2＋50h－5000＝0，解得h＝50，故水柱的高度是50m.

A

一个程序

解三角形应用题的一般步骤

1．审题：

阅读理解题意，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；

2．建模：

根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；

3．求解：

根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；

4．检验：

将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．

一个区别

“方位角”与“方向角”的区别：

方位角大小的范围是[0，2π），方向角大小的范围一般是[0，）．

两种情形

解三角形应用题的两种情形

1．已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．

2．已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要求的解．

两点注意

1．画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程．

2．解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据（原始数据），少用间接求出的量．

A级　基础巩固

一、选择题

1．若点A在点B的北偏西30°

，则点B在点A的（　　）

A．北偏西30°

　　　　　　B．北偏西60°

C．南偏东30°

D．东偏西30°

如下图，点B在点A的南偏东30°

2．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于ɑkm，灯塔A在观察站C的北偏东20°

，灯塔B在观察站C的南偏东40°

，则灯塔A与灯塔B的距离为（　　）

A．ɑkmB.ɑkm

C.ɑkmD．2ɑkm

在△ABC中，AC＝BC＝ɑ，∠ACB＝120°

∴AB2＝ɑ2＋ɑ2－2a2cos120°

＝3ɑ2，AB＝ɑ.

3．如右图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

依题意可得AD＝20（m），AC＝30（m），

又CD＝50（m），所以在△ACD中，由余弦定理得

cos∠CAD＝

＝

＝＝，

又0°

＜∠CAD＜180°

，所以∠CAD＝45°

，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°

4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°

且距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔东南方向的N处，则这只船的航行速度为（　　）

A.海里/小时B．34海里/小时

C.海里/小时D．34海里/小时

如下图所示，在△PMN中，

＝，

∴MN＝＝34，∴v＝＝（海里/小时）．

5．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°

的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°

，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°

，那么B，C两点间的距离是（　　）

A．10海里B．10海里

C．20海里D．20海里

如右图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°

∠ACB＝45°

，根据正弦定理得＝，

解得BC＝10（海里）．

二、填空题

6．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°

和60°

，而且两条船与炮台底部连线成30°

角，则两条船相距____________m.

如右图，OM＝AOtan45°

＝30（m），

ON＝AOtan30°

＝×

30＝10（m），

在△MON中，由余弦定理得，

MN＝＝＝10（m）．

10

7．如下图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°

，再由点C沿北偏东15°

方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°

，则塔AB的高是________米．

在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°

∠BCD＝15°

＋90°

＝105°

，∠DBC＝30°

。

＝，BC＝＝10.

在Rt△ABC中，tan60°

＝，AB＝BCtan60°

＝10（米）．

8．（2016·

江南六校联考）如右图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°

相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°

角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ＝________．

连结BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°

，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·

AC·

cos120°

＝700，∴BC＝10.

再由正弦定理，得＝，

∴sinθ＝

三、解答题

9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：

在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°

和∠BAC＝30°

，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°

和∠ABD＝45°

.请你根据以上条件求出航模的速度．（答案保留根号）

解：

在△ABD中，∵∠BAD＝90°

，∠ABD＝45°

∴∠ADB＝45°

∴AD＝AB＝80，∴BD＝80.

在△ABC中，＝，

∴BC＝＝＝40.

在△DBC中，

DC2＝DB2＋BC2－2DB·

BCcos60°

＝（80）2＋（40）2－2×

80×

40×

＝9600.

∴DC＝40，航模的速度v＝＝2米/秒．

因此航模的速度为2米/秒．

10．在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°

，如右图所示，向山顶前进100m后，又从B点测得斜度为45°

，设建筑物的高为50m．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．

在△ABC中，∠BAC＝15°

，∠CBA＝180°

＝135°

，所以∠ACB＝30°

又AB＝100m，

由正弦定理，得＝，即BC＝.

在△BCD中，因为CD＝50，BC＝，∠CBD＝45°

，∠CDB＝90°

＋θ，

由正弦定理，得＝，

解得cosθ＝－1.

因此，山对于地平面的斜度的余弦值为－1.

B级　能力提升

1．在不等边三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为ɑ、b、c，其中ɑ为最大边，如果sin2（B＋C）＜sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为（　　）

A.B.

C.D.

由题意得sin2A＜sin2B＋sin2C，

由正弦定理得ɑ2＜b2＋c2，即b2＋c2－ɑ2＞0.

则cosA＝＞0，

∵0＜A＜π，∴0＜A＜.又ɑ为最大边，∴A＞.

因此得角A的取值范围是.

2．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°

，60°

，则塔高为________m.

如右图，由已知可得∠BAC＝30°

，∠CAD＝30°

∴∠BCA＝60°

，∠ACD＝30°

∠ADC＝120°

又AB＝200m，∴AC＝m.

在△ACD中，由余弦定理得，

AC2＝2CD2－2CD2·

＝3CD2，

∴CD＝AC＝m.

3．如右图所示，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°

方向直线航行，下午1时到达B处．然后以同样的速度沿北偏东15°

方向直线航行，下午4时到达C岛．

（1）求A，C两岛之间的距离；

（2）求∠BAC的正弦值．

（1）在△ABC中，由已知，得

AB＝10×

5＝50（海里），BC＝10×

3＝30（海里），

∠ABC＝180°

－75°

＋15°

＝120°

由余弦定理，得

AC2＝502＋302－2×

50×

30cos120°

＝4900，

所以AC＝70（海里）．

故A，C两岛之间的距离是70海里．

（2）在△ABC中，由正弦定理，得＝，

所以sin∠BAC＝＝＝.

故∠BAC的正弦值是.

三角函数与解三角形

本章主要内容是三角函数的概念、图象与性质，简单的三角恒等变换，正弦、余弦定理的应用。

针对本章公式多这一突出特点，必须弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系，才能正用、逆用、变形使用公式；

关于角的变换是解决三角问题的关键，应时刻关注待求角与已知角的关系，力争整体处理，这里渗透着等