专题四数列及算法框图文档格式.docx
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1.数列
(1)数列的概念和简单表示法
①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)。
②了解数列是自变量为正整数的一类函数。
(2)等差数列、等比数列
①理解等差数列、等比数列的概念。
②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。
③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题。
④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。
2.框图
(1)流程图
①了解程序框图
②了解工序流程图(即统筹图)
③能绘制简单实际问题的流程图,了解流程图在解决实际问题中的作用。
(2)结构图
①了解结构图。
②会运用结构图梳理已学过的知识、梳理收集到的资料信息。
四.常考题型
考点一数列的性质
1.单调性的判断及应用
例1.(2009年陕西高考卷)已知数列满足,
.
猜想数列
的单调性,并证明你的结论;
证:
(1)由
由
猜想:
数列
是递减数列
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,已证命题成立
(2)假设当n=k时命题成立,即
易知
,那么
=
即
也就是说,当n=k+1时命题也成立,结合
(1)和
(2)知,命题成立
练习.已知an+1-an-3=0,则数列{an}是( A ).
A.递增数列B.递减数列
C.常数列D.不确定
2.周期性的判断及应用
例2.(2012·
福建高考)数列{an}的通项公式an=ncos
,其前n项和为Sn,则S2012等于( )
A.1006 B.2012C.503D.0
解析:
选A 由题意知,a1+a2+a3+a4=2,a5+a6+a7+a8=2,…,a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=2,k∈N.故S2012=503×
2=1006.
练习.在数列{an}中,a1=
,an+1=1-
(n≥2),则a16=________.
解析 由题可知a2=1-
=-1,a3=1-
=2,a4=1-
=
,∴此数列是以3为周期的周期数列,a16=a3×
5+1=a1=
答案
例3.(2012年陕西高考卷)设
的公比不为1的等比数列,其前
项和为
,且
成等差数列.则数列
的公比为()
设数列
的公比为
(
)。
成等差数列,得
,即
。
得
,解得
,
(舍去),所以
练习.(2012高考新课标理5)已知
为等比数列,
,则
()
【解析】因为
为等比数列,所以
,又
,所以
或
.若
;
若
,仍有
考点二数列求通项
1.由前几项猜出通项2.由前n项和求通项
例4.(2006年陕西高考卷)已知正项数列
,其前
项和
满足
且
成等比数列,求数列
的通项
解:
∵10Sn=an2+5an+6,①∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),②
由①-②得10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),
即(an+an-1)(an-an-1-5)=0∵an+an-1>
0,∴an-an-1=5(n≥2).
当a1=3时,a3=13,a15=73.a1,a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n-3.
练习.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n,数列{bn}的前n项和
Tn=2-bn,求数列{an}与{bn}的通项公式;
解:
由于a1=S1=4,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+2n)-[2(n-1)2+2(n-1)]=4n,所以an=4n(n∈N*).
由b1=2-b1,得b1=1,当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=bn-1-bn,
所以2bn=bn-1,所以数列{bn}为等比数列,其首项为1,公比为
所以bn=
n-1.
3.由递推关系求通项
(1)累加法:
形如an+1=an+f(n)(f(n)是可以求和的)的递推式求通项公式时,常用累加法,巧妙求出an-a1与n的关系式.
例5.数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列且bn=an+1-an(n∈N*).若b3=-2,b10=12,则a8=( )
A.0B.3C.8D.11
因为{bn}是等差数列,且b3=-2,b10=12,
故公差d=
=2.于是b1=-6,
且bn=2n-8(n∈N*),即an+1-an=2n-8,
所以a8=a7+6=a6+4+6=a5+2+4+6=…=a1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6=3
练习.在数列{an}中a1=1,an+1=3an+2,求an
解析∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1),
∴
=3,∴数列{an+1}为等比数列,公比q=3,
又a1+1=2,∴an+1=2·
3n-1,∴an=2·
3n-1-1.
(2)累积法:
形如an+1=anf(n)(f(n)是可以求积的)的递推式求通项公式时,常用累乘法,巧妙求出
与n的关系式.
例6.已知数列{an}中,a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2),则数列{an}的通项公式为________.
原递推公式即为
(n≥2),
所以
,…,
(n≥2)
各式左右两边分别相乘得
(n≥2),解得an=
(n≥2),又a1=1适合上式,
所以数列{an}的通项公式为an=
练习.已知数列{an}满足a1=1,an=
an-1(n≥2)求an.
解析∵an=
an-1(n≥2),∴an-1=
an-2,…,a2=
a1.以上(n-1)个式子相乘得an=a1·
·
…·
4.构造等比数列
形如an+1=kan+b(k≠1)(其中k、b为常数),都可以构造等比数列{an+
},先求出该等比数列的通项公式,再求an.
例7.在数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1,则a5的值为( ).
A.30B.31C.32D.33
解析 a5=2a4+1=2(2a3+1)+1=22a3+2+1=23a2+22+2+1=24a1+23+22+2+1=31.
答案 B
考点三数列求和
1.公式法2.拆并法3.倒序相加法4.错位相减法5.裂项相消法
例8.(2012·
天津高考)已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,n∈N*,证明Tn-8=an-1bn+1(n∈N*,n≥2).
[思路点拨]
(1)由已知条件列出方程组,求出等差、等比数列的公差、公比,写出通项公式;
(2)利用错位相减法求解数列的前n项和,再作比较证明.
(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.由条件,得方程组
解得
所以an=3n-1,bn=2n,n∈N*.
(2)证明:
由
(1)得Tn=2×
2+5×
22+8×
23+…+(3n-1)×
2n,①
2Tn=2×
22+5×
23+…+(3n-4)×
2n+(3n-1)×
2n+1.②
由①-②得-Tn=2×
2+3×
22+3×
23+…+3×
2n-(3n-1)×
2n+1
-(3n-1)×
2n+1-2=-(3n-4)×
2n+1-8,
即Tn-8=(3n-4)×
2n+1.而当n≥2时,an-1bn+1=(3n-4)×
2n+1,
所以,Tn-8=an-1bn+1,(n∈N*,n≥2)
例9.(2011·
新课标全国)等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a
=9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列
的前n项和.
解
(1)设数列{an}的公比为q.由a
=9a2a6得a
=9a
,所以q2=
.由条件可知q>0,故q=
.由2a1+3a2=1,得2a1+3a1q=1,所以a1=
.故数列{an}的通项公式为an=
(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-
故
=-
=-2
+
+…+
所以数列
的前n项和为-
练习1.(2011·
辽宁)已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10.
(2)求数列
解
(1)设等差数列{an}的公差为d,由已知条件可得
故数列{an}的通项公式为an=2-n.
(2)设数列
的前n项和为Sn,∵
-
∴Sn=
记Tn=1+
,①则
Tn=
,②
①-②得:
Tn=1+
,∴
即Tn=4
.∴Sn=
-4
=4
练习3【2012高考全国卷理5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列
的前100项和为()
(A)
(B)
(C)
(D)
【解析】由
得
又
,选A.
考点四数列的综合应用
例10(2008年陕西高考卷)已知数列
的首项
.
(Ⅰ)求
的通项公式;
(Ⅱ)证明:
对任意的
(Ⅲ)证明:
解法一:
(Ⅰ)
是以
为首项,
为公比的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
原不等式成立.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的
,有
取
则
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设