专题四数列及算法框图文档格式.docx
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1.数列
（1）数列的概念和简单表示法
①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）。
②了解数列是自变量为正整数的一类函数。
（2）等差数列、等比数列
①理解等差数列、等比数列的概念。
②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。
③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。
④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。
2.框图
（1）流程图
①了解程序框图
②了解工序流程图（即统筹图）
③能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用。
（2）结构图
①了解结构图。
②会运用结构图梳理已学过的知识、梳理收集到的资料信息。
四．常考题型
考点一数列的性质
1.单调性的判断及应用
例1.（2009年陕西高考卷）已知数列满足，
.
猜想数列
的单调性，并证明你的结论；
证：
（1）由
由
猜想：
数列
是递减数列
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立
（2）假设当n=k时命题成立，即
易知
，那么
=
即
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合
（1）和
（2）知，命题成立
练习.已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是（ A ）．
A．递增数列B．递减数列
C．常数列D．不确定
2.周期性的判断及应用
例2.（2012·
福建高考）数列{an}的通项公式an＝ncos
，其前n项和为Sn，则S2012等于（ ）
A．1006 B．2012C．503D．0
解析：
选A 由题意知，a1＋a2＋a3＋a4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝2，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝2，k∈N.故S2012＝503×
2＝1006.
练习.在数列{an}中，a1＝
，an＋1＝1－
（n≥2），则a16＝________.
解析 由题可知a2＝1－
＝－1，a3＝1－
＝2，a4＝1－
＝
，∴此数列是以3为周期的周期数列，a16＝a3×
5＋1＝a1＝
答案
例3.（2012年陕西高考卷）设
的公比不为1的等比数列，其前
项和为
，且
成等差数列．则数列
的公比为（）
设数列
的公比为
（
）。
成等差数列，得
，即
。
得
，解得
，
（舍去），所以
练习.（2012高考新课标理5）已知
为等比数列，
，则
（）
【解析】因为
为等比数列，所以
，又
，所以
或
.若
；
若
，仍有
考点二数列求通项
1.由前几项猜出通项2.由前n项和求通项
例4.（2006年陕西高考卷）已知正项数列
，其前
项和
满足
且
成等比数列，求数列
的通项
解:
∵10Sn=an2+5an+6,①∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn－1=an－12+5an－1+6（n≥2）,②
由①－②得10an=（an2－an－12）+6（an－an－1）,
即（an+an－1）（an－an－1－5）=0∵an+an－1>
0,∴an－an－1=5（n≥2）.
当a1=3时,a3=13,a15=73.a1,a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n－3.
练习.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和
Tn＝2－bn，求数列{an}与{bn}的通项公式；
解：
由于a1＝S1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n2＋2n）－[2（n－1）2＋2（n－1）]＝4n，所以an＝4n（n∈N*）．
由b1＝2－b1，得b1＝1，当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝bn－1－bn，
所以2bn＝bn－1，所以数列{bn}为等比数列，其首项为1，公比为
所以bn＝
n－1.
3.由递推关系求通项
（1）累加法：
形如an＋1＝an＋f（n）（f（n）是可以求和的）的递推式求通项公式时，常用累加法，巧妙求出an－a1与n的关系式．
例5.数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an（n∈N*）．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝（ ）
A．0B．3C．8D．11
因为{bn}是等差数列，且b3＝－2，b10＝12，
故公差d＝
＝2.于是b1＝－6，
且bn＝2n－8（n∈N*），即an＋1－an＝2n－8，
所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝…＝a1＋（－6）＋（－4）＋（－2）＋0＋2＋4＋6＝3
练习.在数列{an}中a1＝1，an＋1＝3an＋2，求an
解析∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3（an＋1），
∴
＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·
3n－1，∴an＝2·
3n－1－1.
（2）累积法:
形如an＋1＝anf（n）（f（n）是可以求积的）的递推式求通项公式时，常用累乘法，巧妙求出
与n的关系式．
例6.已知数列{an}中，a1＝1，（2n＋1）an＝（2n－3）an－1（n≥2），则数列{an}的通项公式为________．
原递推公式即为
（n≥2），
所以
，…，
（n≥2）
各式左右两边分别相乘得
（n≥2），解得an＝
（n≥2），又a1＝1适合上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝
练习.已知数列{an}满足a1＝1，an＝
an－1（n≥2）求an.
解析∵an＝
an－1（n≥2），∴an－1＝
an－2，…，a2＝
a1.以上（n－1）个式子相乘得an＝a1·
·
…·
4.构造等比数列
形如an＋1＝kan＋b（k≠1）（其中k、b为常数），都可以构造等比数列{an＋
}，先求出该等比数列的通项公式，再求an.
例7．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为（ ）．
A．30B．31C．32D．33
解析 a5＝2a4＋1＝2（2a3＋1）＋1＝22a3＋2＋1＝23a2＋22＋2＋1＝24a1＋23＋22＋2＋1＝31.
答案 B
考点三数列求和
1.公式法2.拆并法3.倒序相加法4.错位相减法5.裂项相消法
例8.（2012·
天津高考）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*，证明Tn－8＝an－1bn＋1（n∈N*，n≥2）．
[思路点拨]
（1）由已知条件列出方程组，求出等差、等比数列的公差、公比，写出通项公式；
（2）利用错位相减法求解数列的前n项和，再作比较证明．
（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由条件，得方程组
解得
所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*.
（2）证明：
由
（1）得Tn＝2×
2＋5×
22＋8×
23＋…＋（3n－1）×
2n，①
2Tn＝2×
22＋5×
23＋…＋（3n－4）×
2n＋（3n－1）×
2n＋1.②
由①－②得－Tn＝2×
2＋3×
22＋3×
23＋…＋3×
2n－（3n－1）×
2n＋1
－（3n－1）×
2n＋1－2＝－（3n－4）×
2n＋1－8，
即Tn－8＝（3n－4）×
2n＋1.而当n≥2时，an－1bn＋1＝（3n－4）×
2n＋1，
所以，Tn－8＝an－1bn＋1，（n∈N*，n≥2）
例9．（2011·
新课标全国）等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a
＝9a2a6.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列
的前n项和．
解
（1）设数列{an}的公比为q.由a
＝9a2a6得a
＝9a
，所以q2＝
.由条件可知q＞0，故q＝
.由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝
.故数列{an}的通项公式为an＝
（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－
故
＝－
＝－2
＋
＋…＋
所以数列
的前n项和为－
练习1.（2011·
辽宁）已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
（2）求数列
解
（1）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
（2）设数列
的前n项和为Sn，∵
－
∴Sn＝
记Tn＝1＋
，①则
Tn＝
，②
①－②得：
Tn＝1＋
，∴
即Tn＝4
.∴Sn＝
－4
＝4
练习3【2012高考全国卷理5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列
的前100项和为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】由
得
又
，选A.
考点四数列的综合应用
例10（2008年陕西高考卷）已知数列
的首项
．
（Ⅰ）求
的通项公式；
（Ⅱ）证明：
对任意的
（Ⅲ）证明：
解法一：
（Ⅰ）
是以
为首项，
为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
原不等式成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的
，有
取
则
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设
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