高考数学文复习第1部分专题2 数列 点4 等差数列等比数列含答案文档格式.docx

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（1）证明数列{an}是等差数列的两种基本方法

①利用定义，证明an＋1－an（n∈N*）为同一常数；

②利用中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1（n≥2）．

（2）证明{an}是等比数列的两种基本方法

①利用定义，证明

（n∈N*）为同一常数；

②利用等比中项，即证明a

＝an－1an＋1（n≥2）.

提炼3数列中项的最值的求法

（1）根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数f（n）＝an，利用求解函数最值的方法（多利用函数的单调性）进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数．

（2）利用数列的单调性求解，利用不等式an＋1≥an（或an＋1≤an）求解出n的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而确定相应的最值．

（3）转化为关于n的不等式组求解，若求数列{an}的最大项，则可解不等式组

若求数列{an}的最小项，则可解不等式组

求出n的取值范围之后，再确定取得最值的项．

[高考真题回访]

回访1　等差数列基本量的运算

1．（2015·

全国卷Ⅰ）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝（　　）

A.

　　　　　　　B．

C．10D．12

B　[∵公差为1，

∴S8＝8a1＋

×

1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.

∵S8＝4S4，

∴8a1＋28＝4（4a1＋6），解得a1＝

，

∴a10＝a1＋9d＝

＋9＝

.故选B.]

2．（2015·

全国卷Ⅱ）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝（　　）

A．5　　　B．7

C.9　　　D．11

A　[法一：

∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，

∴S5＝

＝5a3＝5，故选A.

法二：

∵a1＋a3＋a5＝a1＋（a1＋2d）＋（a1＋4d）＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，

∴S5＝5a1＋

d＝5（a1＋2d）＝5，故选A.]

3．（2014·

全国卷Ⅱ）等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝（　　）

A．n（n＋1）B．n（n－1）

C.

D.

A　[由a2，a4，a8成等比数列，得a

＝a2a8，即（a1＋6）2＝（a1＋2）（a1＋14），∴a1＝2，∴Sn＝2n＋

2＝2n＋n2－n＝n（n＋1）．]

回访2　等比数列基本量的运算

4．（2015·

全国卷Ⅱ）已知等比数列{an}满足a1＝

，a3a5＝4（a4－1），则a2＝（　　）

A．2B．1

C　[法一：

∵a3a5＝a

，a3a5＝4（a4－1），∴a

＝4（a4－1），

∴a

－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝

＝8，

∴q＝2，∴a2＝a1q＝

2＝

，故选C.

∵a3a5＝4（a4－1），∴a1q2·

a1q4＝4（a1q3－1），

将a1＝

代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，

解得q＝2，

∴a2＝a1q＝

，故选C.]

5．（2015·

全国卷Ⅰ）在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.

6　[∵a1＝2，an＋1＝2an，

∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，

又∵Sn＝126，∴

＝126，∴n＝6.]

热点题型1　等差、等比数列的基本运算

题型分析：

以等差（比）数列为载体，考查基本量的求解，体现方程思想的应用是近几年高考命题的一个热点，题型以客观题为主，难度较小．

【例1】

（1）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝30，S4＝120，设bn＝1＋log3an，那么数列{bn}的前15项和为（　　）

【04024053】

A．152B．135

C．80D．16

（2）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝（　　）

A．2B．－2

D．－

（1）B　

（2）D　[

（1）设等比数列{an}的公比为q，

由a1＋a3＝30，a2＋a4＝S4－（a1＋a3）＝90，

所以公比q＝

＝3，首项a1＝

＝3，

所以an＝3n，bn＝1＋log33n＝1＋n，

则数列{bn}是等差数列，前15项的和为

＝135，

故选B.

（2）由题意知S1＝a1，S2＝2a1－1，S4＝4a1－6，因为S1，S2，S4成等比数列，

所以S

＝S1·

S4，即（2a1－1）2＝a1（4a1－6），解得a1＝－

，故选D.]

[方法指津]

在等差（比）数列问题中最基本的量是首项a1和公差d（公比q），在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组，从而求出这两个量，那么其他问题也就会迎刃而解．这就是解决等差、等比数列问题的基本量的方法，这其中蕴含着方程的思想．

提醒：

应用等比数列前n项和公式时，务必注意公比q的取值范围．

[变式训练1]

（1）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋3，Sn为{an}的前n项和，若Sn＝51，则n＝__________.

（2）（2017·

东北三省四市联考）等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，则S4＝________.

（1）6　

（2）30　[

（1）由a1＝1，an＋1＝an＋3，得an＋1－an＝3，

所以数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列．

由Sn＝n＋

3＝51，

即（3n＋17）（n－6）＝0，

解得n＝6或n＝－

（舍）．

（2）设数列{an}的公比为q（q＞0），则

解得

所以S4＝

＝30.]

热点题型2　等差、等比数列的基本性质

该热点常与数列中基本量的运算综合考查，熟知等差（比）数列的基本性质，可以大大提高解题效率．

【例2】

（1）（2016·

南昌一模）若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为

，则前4项倒数的和为（　　）

【04024054】

A.

B.

C．1D．2

中原名校联考）若数列{an}满足

－

＝d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}为调和数列．已知数列

为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝（　　）

A．10B．20

C．30D．40

（1）D　

（2）B　[

（1）由题意得

S4＝

＝9，所以

.由a1·

a1q·

a1q2·

a1q3＝（a

q3）2＝

得a

q3＝

.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为

·

＝2，故选D.

（2）∵数列

为调和数列，∴

＝xn＋1－xn＝d，∴{xn}是等差数列，

∵x1＋x2＋…＋x20＝200＝

，∴x1＋x20＝20，又∵x1＋x20＝x5＋x16，∴x5＋x16＝20.]

1．若{an}，{bn}均是等差数列，Sn是{an}的前n项和，则{man＋kbn}，

仍为等差数列，其中m，k为常数．

2．若{an}，{bn}均是等比数列，则{can}（c≠0），{|an|}，{an·

bn}，{manbn}（m为常数，m≠0），{a

}，

仍为等比数列．

3．公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a2－a1，a3－a2，a4－a3，…成等比数列，且公比为

＝q.

4．

（1）等比数列（q≠－1）中连续k项的和成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，其公比为qk.

（2）等差数列中连续k项的和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，公差为k2d.

5．若A2n－1，B2n－1分别为等差数列{an}，{bn}的前2n－1项的和，则

.

[变式训练2]

（1）已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2－a

＋2a12＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b3b11等于（　　）

A．16B．8

C.4D．2

武汉二模）等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝（　　）

A．12B．10

C．8D．2＋log35

（1）A　

（2）B　[

（1）∵{an}是等差数列，∴a2＋a12＝2a7，

∴2a2－a

＋2a12＝4a7－a

＝0.又a7≠0，∴a7＝4.

又{bn}是等比数列，∴b3b11＝b

＝a

＝16.

（2）由等比数列的性质知a5a6＝a4a7＝9，

所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10＝log3（a1a2a3…a10）

＝log3（a5a6）5＝log395＝10，故选B.]

热点题型3　等差、等比数列的证明

该热点在考查数列的通项公式，前n项和公式的同时，考查学生的推理论证能力．

【例3】　（2017·

全国卷Ⅰ）记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．

[解]

（1）设{an}的公比为q.由题设可得

2分

解得q＝－2，a1＝－2．4分

故{an}的通项公式为an＝（－2）n．6分

（2）由

（1）可得

＝－

＋（－1）n

．8分

由于Sn＋2＋Sn＋1＝－

＝2

＝2Sn，10分

故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．12分

[方法指津]判断或证明数列是否为等差或等比数列，一般是依据等差数列、等比数列的定义，或利用等差中项、等比中项进行判断．

利用a

＝an＋1·

an－1（n≥2）来证明数列{an}为等比数列时，要注意数列中的各项均不为0.

[变式训练3]　（2014·

全国卷Ⅰ）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．

（1）证明：

an＋2－an＝λ；

（2）是否存在λ，使得{an}为等差数列？

并说明理由．

[解]

（1）证明：

由题设知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1（an＋2－an）＝λan＋1，2分

由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ．4分

（2）由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，

可得a2＝λ－1.5分

由

（1）知，a3＝λ＋1．6分

令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.7分

故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，

a2n－1＝4n－3.9分

{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.11分

所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，

因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．12分