高中理科数学解题方法篇解析几何Word文件下载.docx
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二.考试要求:
(一)直线和圆的方程
1.理解直线的斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程。
2.掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
3.了解二元一次不等式表示平面区域。
4.了解线性规划的意义,并会简单的应用。
5.了解解析几何的基本思想,了解坐标法。
6.掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程。
(二)圆锥曲线方程
1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。
2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。
3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。
4.了解圆锥曲线的初步应用。
三.教学过程:
(Ⅰ)基础知识详析
高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题,1个填空题,1个解答题),共计30分左右,考查的知识点约为20个左右。
其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查。
选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。
解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法,这一点值得强化。
(一)直线的方程
1.点斜式:
;
2.截距式:
3.两点式:
4.截距式:
5.一般式:
,其中A、B不同时为0.
(二)两条直线的位置关系
两条直线
,
有三种位置关系:
平行(没有公共点);
相交(有且只有一个公共点);
重合(有无数个公共点).在这三种位置关系中,我们重点研究平行与相交.
设直线
:
=
+
,直线
,则
∥
的充要条件是
,且
⊥
=-1.
(三)线性规划问题
1.线性规划问题涉及如下概念:
⑴存在一定的限制条件,这些约束条件如果由x、y的一次不等式(或方程)组成的不等式组来表示,称为线性约束条件.
⑵都有一个目标要求,就是要求依赖于x、y的某个函数(称为目标函数)达到最大值或最小值.特殊地,若此函数是x、y的一次解析式,就称为线性目标函数.
⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题.
⑷满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.
⑸所有可行解组成的集合,叫做可行域.
⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解,叫做这个问题的最优解.
2.线性规划问题有以下基本定理:
⑴一个线性规划问题,若有可行解,则可行域一定是一个凸多边形.
⑵凸多边形的顶点个数是有限的.
⑶对于不是求最优整数解的线性规划问题,最优解一定在凸多边形的顶点中找到.
3.线性规划问题一般用图解法.
(四)圆的有关问题
1.圆的标准方程
(r>0),称为圆的标准方程,其圆心坐标为(a,b),半径为r.
特别地,当圆心在原点(0,0),半径为r时,圆的方程为
.
2.圆的一般方程
(
>0)称为圆的一般方程,
其圆心坐标为(
),半径为
当
=0时,方程表示一个点(
);
<0时,方程不表示任何图形.
3.圆的参数方程
圆的普通方程与参数方程之间有如下关系:
(θ为参数)
(五)椭圆及其标准方程
1.椭圆的定义:
椭圆的定义中,平面内动点与两定点
、
的距离的和大于|
|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|
|,则这样的点不存在;
若距离之和等于|
|,则动点的轨迹是线段
2.椭圆的标准方程:
>
>0),
>0).
3.椭圆的标准方程判别方法:
判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:
如果
项的分母大于
项的分母,则椭圆的焦点在x轴上,反之,焦点在y轴上.
4.求椭圆的标准方程的方法:
⑴正确判断焦点的位置;
⑵设出标准方程后,运用待定系数法求解.
(六)椭圆的简单几何性质
1.椭圆的几何性质:
设椭圆方程为
⑴范围:
-a≤x≤a,-b≤x≤b,所以椭圆位于直线x=
和y=
所围成的矩形里.
⑵对称性:
分别关于x轴、y轴成轴对称,关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
⑶顶点:
有四个
(-a,0)、
(a,0)
(0,-b)、
(0,b).
线段
分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点.
⑷离心率:
椭圆的焦距与长轴长的比
叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0<e<1.e越接近于1时,椭圆越扁;
反之,e越接近于0时,椭圆就越接近于圆.
2.椭圆的第二定义
⑴定义:
平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数
(e<1=时,这个动点的轨迹是椭圆.
⑵准线:
根据椭圆的对称性,
>0)的准线有两条,它们的方程为
.对于椭圆
>0)的准线方程,只要把x换成y就可以了,即
3.椭圆的焦半径:
由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.
设
(-c,0),
(c,0)分别为椭圆
>0)的左、右两焦点,M(x,y)是椭圆上任一点,则两条焦半径长分别为
椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.
椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有
两个关系,因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.
(七)椭圆的参数方程
椭圆
>0)的参数方程为
(θ为参数).
说明⑴这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同:
⑵椭圆的参数方程可以由方程
与三角恒等式
相比较而得到,所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.
(八)双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义:
平面内与两个定点
的距离的差的绝对值等于常数2a(小于|
|)的动点
的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件2a<|
|,这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|
|,则动点的轨迹是两条射线;
若2a>|
|,则无轨迹.
若
<
时,动点
的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若
时,轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”.
2.双曲线的标准方程:
和
(a>0,b>0).这里
,其中|
|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是:
项的系数是正数,则焦点在x轴上;
项的系数是正数,则焦点在y轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题:
(九)双曲线的简单几何性质
1.双曲线
的实轴长为2a,虚轴长为2b,离心率
>1,离心率e越大,双曲线的开口越大.
2.双曲线
的渐近线方程为
或表示为
.若已知双曲线的渐近线方程是
,即
,那么双曲线的方程具有以下形式:
,其中k是一个不为零的常数.
3.双曲线的第二定义:
平面内到定点(焦点)与到定直线(准线)距离的比是一个大于1的常数(离心率)的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线
,它的焦点坐标是(-c,0)和(c,0),与它们对应的准线方程分别是
在双曲线中,a、b、c、e四个元素间有
与
的关系,与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.
(十)抛物线的标准方程和几何性质
1.抛物线的定义:
平面内到一定点(F)和一条定直线(l)的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
这个定点F叫抛物线的焦点,这条定直线l叫抛物线的准线。
需强调的是,点F不在直线l上,否则轨迹是过点F且与l垂直的直线,而不是抛物线。
2.抛物线的方程有四种类型:
对于以上四种方程:
应注意掌握它们的规律:
曲线的对称轴是哪个轴,方程中的该项即为一次项;
一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向;
一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。
3.抛物线的几何性质,以标准方程y2=2px为例
(1)范围:
x≥0;
(2)对称轴:
对称轴为y=0,由方程和图像均可以看出;
(3)顶点:
O(0,0),注:
抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心);
(4)离心率:
e=1,由于e是常数,所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的;
(5)准线方程
(6)焦半径公式:
抛物线上一点P(x1,y1),F为抛物线的焦点,对于四种抛物线的焦半径公式分别为(p>0):
(7)焦点弦长公式:
对于过抛物线焦点的弦长,可以用焦半径公式推导出弦长公式。
设过抛物线y2=2px(p>O)的焦点F的弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的倾斜角为α,则有①|AB|=x
+x
+p
以上两公式只适合过焦点的弦长的求法,对于其它的弦,只能用“弦长公式”来求。
(8)直线与抛物线的关系:
直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程:
x
+bx+c=0,当a≠0时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可;
但如果a=0,则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线,此时,直线和抛物线相交,但只有一个公共点。
(十一)轨迹方程
⑴曲线上的点的坐标都是这个方