专转本模拟试题与解析六Word格式文档下载.docx

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二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。

7、已知，则

8、已知曲线，则其拐点为

9、设函数，则函数的导数

10、

11、交换积分次序

12、如果，且，则____________

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。

13、求的间断点，并说明其类型。

14、设函数由参数方程所确定，求。

15、计算不定积分。

16、求通过点，且与直线垂直，又与平面平行的直线方程。

17、设，求。

18、把函数展开为的幂级数，并写出它的收敛区间。

19、计算二重积分，其中是第一象限内由圆及直线所围成的区域。

20、设，其中具有二阶连续偏导数，求、。

四、证明题（每小题9分，共18分）

21、设在上具有严格单调递减的导数且；

试证明：

对于满足不等式的、有。

22、证明：

，并利用此式求。

五、综合题（每小题10分，共20分）

23、由直线及抛物线围成一个曲边三角形，在曲边上求一点，使曲线在该点处的切线与直线的围成的三角形面积最大。

24、设满足方程，且其图形在点与曲线相切，求函数。

江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析（六）

解析：

求极限时，先判断极限类型，本题考查两个重要极限

（1）或；

易知

（2）或；

故本题答案选C

在变量的某个变化过程中，以零为极限的函数（变量）称为无穷小量，我们关心它趋于零的速度。

其速度是用“阶”来衡量的。

若（同一极限过程）

，称阶无穷小量；

，称低阶无穷小量；

，称与是同阶阶无穷小量；

当时，称两者为等价无穷小量。

记住九个常用的等价无穷小量。

当时，

，，，，，，，，。

当然，上述理解成，替换原则：

乘除可换，加减忌换。

（分子分母整体替换）

本题条件：

，得；

该题考察可导的奇偶函数的导数性质。

可导，

若为奇函数，则为偶函数；

若为偶函数，则为奇函数。

（其逆不全成立，）因为偶函数的原函数相差常数，当时非奇非偶。

另外，可导的周期函数，其导函数仍然是周期函数且周期不变。

（这些性质用复合函数求导法则比较容易得到）

渐近线有三种，水平，铅直和斜渐近线

若，表明有水平渐近线

若，表明有铅直渐近线

若存在，且表明有斜渐近线

因为

，从而是水平渐近线；

，从而是铅直渐近线；

，从而不是渐进线；

因为，从而没有斜渐近线。

该题有两条渐近线故本题答案选B

A、B、

该题考查原函数与不定积分的基本概念，凑微分法。

如果，称为的一个原函数，不同的原函数之间只会相差常数。

不定积分就是找那些导数为的所有函数全体（只相差任意常数），不定积分求解正确与否，只要反过来求导是否为被积函数即可。

于是，有性质；

。

，故本题答案选A

6、下列级数条件收敛的是（）

该题考察级数的收敛性质、必要条件，级数审敛法，条件收敛与绝对收敛。

该题考察级数的收敛性质、级数收敛的，（交错）级数等。

记住当时收敛，时发散。

交错当时绝对收敛，时条件收敛，时发散。

B选项显然发散，因为，破坏级数收敛的必要条件。

绝对收敛收敛。

原级数绝对收敛必收敛。

条件收敛发散，而收敛

研究一般项级数的流程应是先判别绝对收敛，若加绝对值发散则研究级数的条件收敛性。

一般项级数中最重要的一类级数为交错级数（）。

交错级数的莱伯尼兹判别法：

对于级数

若

（1），即级数是交错的，

（2）单调下降，（3）

则收敛。

　于是记住:

故本题答案选D（注：

A选项显然绝对收敛，C选项发散）

该题考察导数定义

或；

式子当中的应当理解为中间变量，看成文字。

于是

曲线上凹凸性发生改变的界点称为拐点。

它可能出现在的点或不存在的点。

由于多项式函数处处二阶可导，故拐点处的二阶导数一定为零。

然后再看该点左右二阶导数是否变号求出拐点。

令，得，此时。

又时，；

时，。

故拐点为。

变上限函数的求导公式，对于很多同学可能会觉得不容易记牢，在记忆时不彷考虑牛顿莱布尼兹公式辅助记忆

变下限函数的求导公式，只需交换积分上下限，结果相差一个负号，于是

注意：

这种题要弄清楚积分变量与之间的关系，用上述公式，须被积函数为“纯”函数。

例1

例2：

上述两例给出化被积函数为“纯”函数的一般方法：

直接分离与或通过定积分换元法实现。

该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质以及定积分的几何意义。

；

这里因为函数是奇函数，故积分为零，积分表示半径为的上半圆的面积。

二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。

首先要理解二重积分的几何意义，特别是对称型简化积分计算。

在直角坐标系下，首先要画出积分区域，然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的积分顺序。

积分区域转化为

其中

故。

该题考察向量的基本运算——数量积与向量积。

两向量数量积为对应分量乘积之和，结果是一个数量。

两向量向量积结果是一个向量。

三者方向满足右手规则，，其中为两向量的夹角。

两向量垂直的充要条件是数量积为0。

（平行的充要条件是向量积为0向量或分量对应成比例）

由条件，即得：

函数在处连续的定义为。

实际上包含三个条件

（1）函数在处必须有定义；

（2）函数在处的极限存在；

（3）函数在处的极限值必须等于函数值；

当上述三个条件不全满足时的点即为函数的间断点。

而初等函数在定义区间之内均是连续的，所以，没有定义的点一定是间断点，分段函数的分段点是可能的间断点。

根据点处的极限情况来加以分类：

本题在、处没有定义，所以间断点有三个（也是分段点）

，

是第一类可去间断点；

是第二类无穷间断点；

即函数在处左右极限均存在但相等，是第一类跳跃间断点。

由参数方程所确定函数的导数是常考的一个内容，首先需要熟记求导公式

15、计算不定积分。

该题考察不定积分的分部积分，注意的选择。

当被积函数为五种基本初等函数中某两类不同类型函数的乘积时，一般采用分部积分法，关键是的选择，一般按照“反（三角函数）、对（数函数）、幂（函数）、三（角函数）、指（数函数）”的优先顺序选择，另外部分凑成某个函数的微分（那个函数即为）

。

求直线方程，基本方法是使用点向式（对称式）。

求出直线上的一个定点和方向向量。

直线上的定点，已知直线的方向向量；

平面的法向量，由题意知，，

故所求直线方向向量可取

所求直线方程为。

17、设，求

定积分计算主要依据牛顿—莱伯尼兹公式：

设，则

其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需要指出的是对于第Ⅱ类直接交换法，注意积分限的变化：

本题被积函数为分段函数，先用定积分换元法，然后在每个小区间积分相加。

令，则时，时，，

所以

18、把函数展开为的幂级数，并写出它的收敛区间.

有关幂级数展开方法，已在试卷

（一）详细论述，不再赘述。

，收敛域为。

19、计算二重积分，其中是第一象限内由圆及直线所围成的区域.

首先要画出积分区域（如图），然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的坐标以及适当的积分顺序。

一般当被积函数形如，区域形状为圆形、圆环、扇形（环）等，往往使用极坐标计算；

否则，往往用直角坐标计算。

本题首先画出积分区域图，区域半圆形，采用极坐标计算。

该题型是几乎每年必考。

需要认真掌握。

第一步：

变量的关系网络图

其中1，2分别表示

第二步：

寻找与对应的路径，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”

，。

不等式证明方法有很多，当出现与函数差值有关的带有导数的表达式可以考虑用由拉格朗日定理证明。

由题意

，

由于在上严格单调递减，知，因，故

，并利用此式求.

有关定积分的抽象恒等式的证明，一般采用换元法，难点是如何做出代换，优先考虑函数结构形式的对应，兼顾积分的上下限。

令，

故，证毕.

该类题型是定积分应用中常考的题型，但是近两年在该知识点常出综合题。

结合微分方程，极限等知识点出题。

首先画出图形，如图，设所求切点为切线交轴于,交直线于，

切线的方程为又点在上，因此，，

令得，点坐标为，

令得，

点的坐标为，

于是三角形的面积为

令,

得：

因为，所以为最大值，

故为所有三角形中面积之最大值。

解微分方程首先要判别类型，该方程是二阶常系数线性非齐次方程。

该类方程几乎每年必考，现将求解方法细述如下：

（1）齐次方程，其中为常数。

求解步骤：

1）特征方程，求根。

2）互异实根，，

，；

，。

（2）非齐次方程，通解为其