数学建模习题及答案课后习题Word格式.docx
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用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。
比如洁银牙膏50g装的每支1.50元,120g装的3.00元,二者单位重量的价格比是1.2:
1。
试用比例方法构造模型解释这个现象。
(1)分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定,这些成本中有的与重量w成正比,有的与表面积成正比,还有与w无关的因素。
(2)给出单位重量价格c与w的关系,画出它的简图,说明w越大c越小,但是随着w的增加c减少的程度变小。
解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生,打算按照放生的鱼的重量给予奖励,俱乐部只准备了一把软尺用于测量,请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼,并且得到8条鱼的如下数据(胸围指鱼身的最大周长):
身长(cm)
36.8
31.8
43.8
32.1
45.1
35.9
重量(g)
765
482
1162
737
1389
652
454
胸围(cm)
24.8
21.3
27.9
21.6
22.9
先用机理分析建立模型,再用数据确定参数
4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道,要求布条不重叠,问布条与管道轴线的夹角
应多大(如图)。
若知道管道长度,需用多长布条(可考虑两端的影响)。
如果管道是其他形状呢。
5.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘,给出几种简便、有效的排列方法,使加工出尽可能多的圆盘。
6.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变,在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。
7.举重比赛按照运动员的体重分组,你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。
下面是一届奥员会的竞赛成绩,可供检验你的模型。
组别
最大体重(kg)
抓举 (kg)
挺举 (kg)
总成绩(kg)
54
132.5
155
287.5
59
137.5
170
307.5
64
147.5
187.5
335
70
162.5
195
357.5
76
167.5
200
367.5
6
83
180
212.5
392.5
7
91
213
402.5
8
99
185
420
9
430
10
〉108
197.5
260
457.5
第一部分课后习题答案
1.按照题目所给方法
(1),
(2),(3)的席位分配结果如下表:
宿舍
(1)
(2)
(3)
总计
15
2.
(1)生产成本主要与重量w成正比,包装成本主要与表面积s成正比,其它成本也包含与w和s成正比的部分,上述三种成本中都含有与w,s均无关的成分。
又因为形状一定时一般有
,故商品的价格可表为
(
为大于0的常数)。
(2)单位重量价格
,其简图如下:
显然c是w的减函数,说明大包装比小包装的商品便宜,;
曲线是下凸的,说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的,不要追求太大包装的商品。
3.对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的,密度也大体上相同,所以重量w与身长
的立方成正比,即
,
为比例系数。
常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型,因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。
如果只假定鱼的横截面积是相似的,则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比,于是
利用数据估计模型中的系数可得
=0.014,
=0.0322,将实际数据与模型结果比较如下表:
实际重量(g)
模型
727
469
1226
483
1339
675
730
465
1100
1471
607
基本上满意。
4.将管道展开如图:
可得
,若d一定,w趋于0,
趋于
/2;
w趋于
d,
趋于0。
若管道长度为
,不考虑两端的影响时布条长度显然为
d
/w,若考虑两端影响,则应加上
dw/sin
。
对于其它形状管道,只需将
d改为相应的周长即可。
5.设圆盘半径为单位1,矩形板材长a,宽b;
可以精确加工,即圆盘之间及圆盘与板材之间均可相切。
方案一:
圆盘中心按正方形排列,如下图1,圆盘总数为
=[a/2][b/2]
方案二:
圆盘中心按六角形排列,如下图2,行数m满足2+(m-1)
a,于是m=
图1图2
列数(按图2第1行计数)n满足:
若[b]为奇数,则各行圆盘数相同为([b]-1)/2;
若[b]为偶数,则奇数行圆盘数为[b]/2,偶数行圆盘数为[b]/2-1。
圆盘总数为
其中
(1)为:
m为偶数。
(2)为:
m为奇数,[b]为偶数。
两个方案的比较见下表(表中数字为
/
):
14
20
2/2
4/4
8/7
10/9
14/13
20/19
3/3
6/6
12/11
15/14
21/20
30/29
5/5
10/10
20/18
25/23
35/33
50/48
7/8
14/16
28/28
35/36
49/52
70/76
10/11
20/22
40/39
50/50
70/72
100/105
当a,b较大时,方案二优于方案一。
其它方案,方案一、二混合,若a=b=20,3行正方形加8行六角形,圆盘总数为106。
6.假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变,且动物体内热量主要通过它的表面积散失,对于一种动物其表面积S与某特征尺寸
之间的关系是
,所以饲养食物量
7.假设举重比赛成绩y与运动员肌肉的截面积s成正比,而截面积
是某特征尺寸),体重
,于是
用举重总成绩检验这个模型,结果如下图3;
如果用举重总成绩拟合
,可得
=0.57,结果如下图4。
图3图4
第二部分课后习题
1.Malthus模型预测的优缺点。
2.阻滞增长模型预测的优缺点。
3.简述动态模型和微分方程建模。
4.按照你的观点应从那几个方面来建立传染病模型。
5.叙述Leslie人口模型的特点。
并讨论稳定状况下种群的增长规律。
6.试比较连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)和离散形式阻滞增长模型,并讨论离散形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。
第二部分课后习题答案
1.优点:
短期预报比较准确;
缺点:
不适合中长期预报;
原因:
预报时假设人口增长率为常数,没有考虑环境对人口增长的制约作用。
2.优点:
中期预报比较准确;
理论上很好,实用性不强;
预报时假设固有人口增长率以及最大人口容量为定值。
实际上这两个参数很难确定,而且会随着社会发展情况变化而变化。
3.动态模型:
描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段;
微分方程建模:
模根据函数及其变化率之间的关系确定函数,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程。
4.描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律,用机理分析方法建立模型。
5.不同年龄组的繁殖率和死亡率不同,以雌性个体数量为对象(假设性别比为1:
1),是一种差分方程模型。
6.连续形式:
表示某种群
时刻的数量(人口)
离散形式:
表示某种群第
代的数量(人口)
若
则
是平衡点;
的平衡点为
.
其中
此时的差分方程变为
.
由
可得平衡点
在平衡点
处,由于
因此,
不稳定.
在在平衡点
处,因
所以
(i)
当
时,平衡点
不稳定;
(ii)
不稳定.
第三部分课后习题
1.判断下列数学模型是否为线性规划模型。
(a,b,c为常数,x,y为变量)
2.将下述线性规划问题化为标准形式。
3.用单纯形法求解线性规划问题。
4.检验函数
在
处有
正定,从而
为极小点。
证明G为奇异当且仅当
,从而证明对所有满足
的x,G是正定的。
5.求出函数
的所有平稳点;
问哪些是极小点?
是否为全局极小点?
6.应用梯度法于函数
取
迭代求
第三部分课后习题答案
1.答案:
(1)是
(2)不是(3)是
2.答案:
(2)令
引入松弛变量
可得到如下的标准形式:
(3)解:
(4)解:
3.答案:
在上述问题的约束条件中加入松弛变量
,将原问题化成标准形式如下:
其现成可行基
对应的单纯形表如下:
2
0
1
2
12
18
换基迭代,得
-5/2
-30
1/2
3
-1
-11/6
-2/3
-34
1/3
-1/3
-1/3
1/3
故最优解为
,目标函数的最优值为
4.证明:
经检验,
正定,
奇异当且仅当