几个重要的特殊数列Word格式.docx

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这个数列的通项公式怎样去求为认识决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特点根法。

特点根法：

设二阶常系数线性齐次递推式为

（），其特点方程为，其根为特点根。

（1）若特点方程有两个不相等的实根，则其通项公式为

（），此中A、B由初始值确立；

（2）若特点方程有两个相等的实根，则其通项公式为

（），此中A、B由初始值确立。

（这个问题的证明我们将在后边的解说中给出）

所以对于斐波那契数列，对应的特点方程为，其

特点根为：

，所以可设其通项公式为，

利用初始条件得，解得

所以。

这个数列就是有名的斐波那契数列的通项公式。

斐波那契数列有很多生要风趣的性质，如：

它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。

斐波那契数列在数学比赛的组合数学与数论中有较为宽泛地应用。

为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：

（请同学们自己证明）

（1）斐波那契数列的前项和；

（2）；

（3）（）；

（4）（）；

（5）（）；

2．分群数列

将给定的一个数列{}：

依据必定的规则挨次序用括

号将它分组，则能够获得以组为单位的序列。

如在上述数列中，我们将作为第

一组，将作为第二组，将作为第三组，挨次类推，第组有

个元素，即可获得以组为单位的序列：

（），（），（），

我们往常称此数列为分群数列。

一般地，数列{}的分群数列用以下的形式表示：

（），

（），（），，此中第1个括号称为第1群，

第2个括号称为第2群，第3个括号称为第3群，，第个括号称为第群，

而数列{}称为这个分群数列的原数列。

假如某一个元素在分群数列的第个

群中，且从第个括号的左端起是第个，则称这个元素为第群中的第个元

素。

值得注意的是一个数列能够获得不一样的分群数列。

如对数列{}分群，还能够获得下边的分群数列：

第个群中有个元素的分群数列为：

（），（），

（）；

（）等等。

3．周期数列

对于数列{}，假如存在一个常数，使得对随意的正整数恒

有建立，则称数列{}是从第项起的周期为T的周期数列。

若

，则称数列{}为纯周期数列，若，则称数列{}为混周期数列，

T的最小值称为最小正周期，简称周期。

周期数列主要有以下性质：

（1）周期数列是无量数列，其值域是有限集；

（2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不一样）；

（3）假如T是数列{}的周期，则对于随意的，也是数列{}

的周期；

（4）假如T是数列{}的最小正周期，M是数列{}的任一周期，则必有

T|M，即M=（）；

（5）已知数列{}知足（为常数），分别为{}

的前项的和与积，若，则，

；

（6）设数列{}是整数数列，是某个取定大于1的自然数，若是除

以后的余数，即，且，则称数列是{}

对于的模数列，记作。

若模数列是周期的，则称{}

是对于模的周期数列。

（7）任一阶齐次线性递归数列都是周期数列。

4．阶差数列

对于一个给定的数列{}，把它的连续两项与的差－记为，

获得一个新数列，把数列称为是原数列{}的一阶差数列；

假如

，则称数列

是数列

的一阶差数列，

是{

}的二阶差数列；

挨次类推，能够获得数列

{

}的

阶差数列，此中

假如某一数列的阶差数列是一非零常数列，则称该数列为阶等差数列。

其实一阶等差数列就是我们往常说的等差数列；

高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称。

高阶等差数列拥有以下性质：

（1）假如数列{}是阶等差数列，则它的一阶等差数列是阶差数列；

（2）数列{}是阶等差数列的充要条件是：

数列{}的通项是对于的

次多项式；

（3）假如数列{}是阶等差数列，则其前项之和是对于的次

多项式。

高阶等差数列中最常有的问题是求通项公式以及前项和，更深层次的问题

2是差分方程的求解。

解决问题的基本方法有：

（1）逐差法：

其出发点是；

（2）待定系数法：

在已知阶数的等差数列中，其通项

与前

n项和

n是确

S

定次数的多项式（对于n的），先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得

（3）

裂项相消法：

其出发点是

an能写成

f

n

－f

（

=

（+1）

）

（4）化归法：

把高阶等差数列的问题转变为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的

设数列{}不是等比数列：

若它的一阶等差数列是公比不为1的等比数列，

则称它是一阶等比数列；

若它的一阶差数列不是等比数列，而二阶差数列是公比

不为1的等比数列，则称这为二阶等比数列。

一般地说，假如某一个数列它的

阶等差数列不是等比数列，而阶差数列是公比不为1的等比数列，则称这个数

列为阶等比数列，此中。

1阶等比数列就是我们往常所说的等比数列，一阶及二阶以上的等比数列，统称为高阶等比数列。

典例剖析

例1．数列的通项公式为，．记

，求全部的正整数，使得能被8整除．

（2005年上海比赛试题）

解：

记

注意到，可得

所以，Sn+2除以8的余数，完整由Sn+1、Sn除以8的余数确立

，故由（*）式能够算出各项除以8的余数

挨次是1,3，0,5，7,0，1,3，，它是一个以6为周期的数列，进而

故当且仅当

例２．设是下述自然数N的个数，N的各位数字之和为，且每位数字只

能取1、3或4，求证：

是完整平方数，这里

剖析：

这道题目的证法好多，下边我们给出借助于斐波那契数列证明的两种方法。

方法一：

利用斐波那契数列作过渡证明。

设，此中且。

假定，删去时，则当挨次取1，3，4时，分别

等于，故当时，

（1）

作数列：

且，

现用数学概括法证明下述两式建立：

（2）

因为故当时

（2）（3）两式建立。

假定当（）时，

（2）（3）两式建立，由当时，由

（1）

式、的定义以及概括假定，知

这样

（2）（3）两式对于建立。

故

（2）（3）两式对于全部自然数

建立。

，由

（2）即可知是完整平方数。

方法二：

由的递推关系式追求的递推关系式，从这个递推关系式

对求与斐波那契数列的关系。

等于，故当时，

所以

令，则当时，有

因为

是斐波那契数列：

，下用数学概括法证明且，

，此中

当时结论明显；

设时结论建立，于是

即当时命题建立。

从上述证明可知，对全部正整数

，是完整平方数，进而

也是完

全平方数。

例3．将等差数列

}:

中全部能被

3或

5整除的数删去

后,剩下的数自小到大排成一个数列

},

求

的值.（2006年江西省比赛试

题）

解:

因为,故若是3或5的倍数,当且仅当是3或5的倍

数.

现将数轴正向分红一系列长为60的区间段:

（0,+）＝（0,60]∪（60,120]∪

（120,180]∪,注意第一个区间段中含有{}的项15个,

即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.此中属于{}的项8个,

为:

,,,,,,,

于是每个区间段中恰有15个{}的项,8个{}的项,

且有,k∈N,1≤r≤8.因为2006＝8×

250+6,而,

所以.

例4．将正奇数会合从小到大按第组有个奇数进行分组：

{1}，{3，5，7}，{9，11，13，15，17}，问1991位于第几组

需要写出第n组的第1个数与最后一个数，1991介于此中，而第n组

的最后一个数为。

第n组的第一个数即第n－1组的最后一个数后边的奇数，为[2（n－1）2－

1]+2=2（n－1）2+1。

由题意知2（n－1）2+1，

解得（n－1）2且，进而且，故，即1991位

于第32级中。

例5．设等差数列的首项是，公差为，将按第组有个数的

法例分组以下：

，，，，

试问是第几组的第几个数并求出所在那组的各项的和。

设位于第组，则前组共有3+6+9++3（k－1）=项，

即

解此方程组得：

因为且

－（

，

，所以

所以，是第组的第个数，此中。

因为第组是以为首项，为公差的等差数列，所

以其全部项的和等于，此中

例６．设奇数数列：

1，