二项式知识点十大问题练习含复习资料Word格式.docx
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②顺序:
注意正确选择
其顺序不能更改。
是不同的。
③指数:
的指数从
逐项减到
,是降幂排列。
,是升幂排列。
各项的次数和等于
④系数:
注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是
项的系数是
的系数(包括二项式系数)。
4.常用的结论:
令
5.性质:
①二项式系数的对称性:
与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即
,·
·
②二项式系数和:
则二项式系数的和为
变形式
。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:
在二项式定理中,令
,则
从而得到:
④奇数项的系数和与偶数项的系数和:
⑤二项式系数的最大项:
如果二项式的幂指数
是偶数时,则中间一项的二项式系数
取得最大值。
如果二项式的幂指数
是奇数时,则中间两项的二项式系数
同时取得最大值。
⑥系数的最大项:
求
展开式中最大的项,一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别
为
,设第
项系数最大,应有
,从而解出
来。
专题一
题型一:
二项式定理的逆用;
例:
解:
与已知的有一些差距,
练:
设
题型二:
利用通项公式求
的系数;
在二项式
的展开式中倒数第
项的系数为
,求含有
的项的系数?
由条件知
,即
,解得
,由
,由题意
则含有
的项是第
系数为
展开式中
的系数?
,令
则
故
的系数为
题型三:
利用通项公式求常数项;
求二项式
的展开式中的常数项?
,得
,所以
若
的二项展开式中第
项为常数项,则
题型四:
利用通项公式,再讨论而确定有理数项;
展开式中的有理项?
(
)得
所以当
时,
当
题型五:
奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;
展开式中偶数项系数和为
,求
展开式中各项系数依次设为
则有
①,
②
将①-②得:
有题意得,
的展开式中,所有的奇数项的系数和为
,求它的中间项。
所以中间两个项分别为
题型六:
最大系数,最大项;
已知
,若展开式中第
项,第
项与第
项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少?
解出
,当
时,展开式中二项式系数最大的项是
在
的展开式中,二项式系数最大的项是多少?
二项式的幂指数是偶数
,则中间一项的二项式系数最大,即
,也就是第
的展开式中,只有第
项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少?
只有第
项的二项式最大,则
所以展开式中常数项为第七项等于
写出在
的展开式中,系数最大的项?
系数最小的项?
因为二项式的幂指数
是奇数,所以中间两项(
)的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有
的系数最小,
系数最大。
若展开式前三项的二项式系数和等于
的展开式中系数最大的项?
由
假设
项最大,
,化简得到
,又
,展开式中系数最大的项为
有
的展开式中系数最大的项是多少?
假设
题型七:
含有三项变两项;
求当
的展开式中
的一次项的系数?
解法①:
,当且仅当
的展开式中才有x的一次项,此时
得一次项为
它的系数为
解法②:
故展开式中含
的项为
,故展开式中
的系数为240.
求式子
的常数项?
题型八:
两个二项式相乘;
题型九:
奇数项的系数和与偶数项的系数和;
题型十:
赋值法;
设二项式
的展开式的各项系数的和为
,所有二项式系数的和为
若
等于多少?
,有
令
得
即
解得
的展开式中各项系数之和为
,则展开式的常数项为多少?
,则展开式的常数项为
题型十一:
整除性;
证明:
能被64整除
证:
由于各项均能被64整除
1、(x-1)11展开式中x的偶次项系数之和是
1、设f(x)=
(1)11,偶次项系数之和是
2、
2、4n
3、
的展开式中的有理项是展开式的第项
3、3,9,15,21
4、(21)5展开式中各项系数绝对值之和是
4、(21)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(21)5展开式系数之和,故令1,则所求和为35
5、求(12)
(1)10展开式中x4的系数
5、
要得到含x4的项,必须第一个因式中的1与
(1)9展开式中的项
作积,第一个因式中的-x3与
(1)9展开式中的项
作积,故x4的系数是
6、求
(1)+
(1)2+…+
(1)10展开式中x3的系数
6、
=
,原式中x3实为这分子中的x4,则所求系数为
7、若
展开式中,x的系数为21,问m、n为何值时,x2的系数最小?
7、由条件得21,x2的项为
因n∈N,故当10或11时上式有最小值,也就是11和10,或10和11时,x2的系数最小
8、自然数n为偶数时,求证:
8、原式=
9、求
被9除的余数
9、
∵k∈Z,∴91∈Z,∴
被9除余8
10、在(x2+32)5的展开式中,求x的系数
10、
在
(1)5展开式中,常数项为1,含x的项为
,在
(2)5展开式中,常数项为25=32,含x的项为
∴展开式中含x的项为
,此展开式中x的系数为240
11、求(21)12展开式中系数最大的项
11、设1的系数最大,则1的系数不小于与2的系数,即有
∴展开式中系数最大项为第5项,T5=